Знайдіть висоту рівнобедреного трикутника, основа якого дорівнює 18 см, а один з кутів має міру 120°. Висоту проведіть

Чтобы найти высоту равнобедренного треугольника, основа которого равна 18 см, а один из углов имеет меру 120°, мы можем воспользоваться теоремой синусов.

Теорема синусов утверждает, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла одинаково для всех трех сторон.

Как применить эту теорему к нашей задаче? Давайте рассмотрим треугольник, где основа служит для нас известной стороной, а противолежащий ей угол равен 120°.

Пусть h обозначает высоту треугольника.

Так как треугольник равнобедренный, то другая сторона (не основа) также будет равна 18 см.

Далее, нам нужно найти длину третьей стороны треугольника. Для этого мы можем воспользоваться теоремой косинусов.

В треугольнике длина третьей стороны может быть найдена с использованием формулы:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

где c - длина третьей стороны, a и b - длины двух других сторон, C - мера угла между этими сторонами.

Подставим в данную формулу известные величины:

$$c^2={18}^2+{18}^2-2(18)(18)\cos 120°$$

Вычислим значение косинуса 120°. Косинус 120° равен -0.5. Подставляем:

$$c^2={18}^2+{18}^2-2(18)(18)(-0.5)$$

$$c^2=324+324+972$$

$$c^2=1620$$

Теперь найдем длину третьей стороны, возведя обе части уравнения в квадрат:

$$c=\sqrt{1620}$$

$$c\approx 40.25\text{см}$$

Таким образом, длина третьей стороны равна примерно 40.25 см.

Теперь, чтобы найти высоту треугольника, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\times a\times h$$

где S - площадь треугольника, a - длина основы, h - высота треугольника.

Зная площадь треугольника (поскольку он равнобедренный) и длину основы, мы можем переписать эту формулу:

$$S=\frac{1}{2}\times 18\times h$$

В нашем случае площадь треугольника может быть определена с использованием формулы Герона:

$$S=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}$$

где s - полупериметр треугольника (s = (a + b + c)/2), a и b - длины сторон треугольника, c - длина третьей стороны.

Подставим известные значения:

$$S=\sqrt{\frac{(18+18+40.25)}{2}\cdot (\frac{(18+18+40.25)}{2}-18)\cdot (\frac{(18+18+40.25)}{2}-18)\cdot (\frac{(18+18+40.25)}{2}-40.25)}$$

Теперь мы можем решить это уравнение и найти площадь треугольника:

$$S=\sqrt{38.125\cdot 20.125\cdot 20.125\cdot 0.125}$$

$$S\approx \sqrt{193.238}$$

$$S\approx 13.89{\text{см}}^2$$

Теперь, чтобы найти высоту треугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\times a\times h$$

где S - площадь треугольника, a - длина основы, h - высота треугольника.

Подставим известные значения:

$$13.89=\frac{1}{2}\times 18\times h$$

Теперь решим уравнение для h:

$$13.89=9h$$

$$h=\frac{13.89}{9}$$

$$h\approx 1.54\text{см}$$

Таким образом, высота равнобедренного треугольника равна примерно 1.54 см.

Ответ: Высота равнобедренного треугольника, основа которого равна 18 см, а один из углов мерит 120°, составляет примерно 1.54 см.