Каковы площадь сечения и площадь поверхности сферы, заданной уравнением x^2+y^2+z^2-2x+6y-4z=11, при пересечении

Для решения этой задачи мы должны найти площадь сечения и площадь поверхности сферы, заданной уравнением \(x^2+y^2+z^2-2x+6y-4z=11\), когда она пересекается с плоскостью \(x=4\).

Сначала, чтобы найти сечение плоскостью \(x=4\), мы заменяем \(x\) в уравнении сферы \(x^2+y^2+z^2-2x+6y-4z=11\) на 4:

\((4)^2+y^2+z^2-2(4)+6y-4z=11\)

Упрощая это уравнение, получим:

\(16 + y^2 + z^2 - 8 + 6y - 4z = 11\)

\(y^2 + z^2 + 6y - 4z - 19 = 0\)

Теперь мы должны найти площадь этого сечения плоскостью \(x=4\). Для этого нам понадобится понять, какое геометрическое тело образует данное сечение.

Поскольку это уравнение не определяет прямую или плоскость, мы можем предположить, что сечение будет окружностью.

Для того чтобы найти радиус и центр этой окружности, следует привести уравнение сечения к общему уравнению окружности. Для этого нам нужно завершить квадраты для переменных \(y\) и \(z\), а также перегруппировать члены:

\((y^2 + 6y) + (z^2 - 4z) = 19\)

Теперь нам нужно добавить и вычесть определенные значения, чтобы завершить квадраты для \(y\) и \(z\). Мы добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при \(y\) и половины коэффициента при \(z\):

\((y^2 + 6y + 9) - 9 + (z^2 - 4z + 4) - 4 = 19\)

\((y + 3)^2 - 9 + (z - 2)^2 - 4 = 19\)

Теперь уравнение сечения имеет вид:

\((y + 3)^2 + (z - 2)^2 = 32\)

Из этого уравнения мы видим, что центр окружности находится в точке \((-3, 2)\), а ее радиус равен \(\sqrt{32}\).

Теперь перейдем к нахождению площади поверхности сферы. Площадь поверхности сферы можно найти с помощью формулы:

\[S = 4\pi r^2\]

где \(S\) - площадь поверхности, \(\pi\) - математическая константа (пи), \(r\) - радиус сферы.

В нашем случае, радиус сферы равен \(\sqrt{32}\). Подставив значение радиуса в формулу, получим:

\[S = 4\pi (\sqrt{32})^2\]

Упрощая это выражение, получим:

\[S = 4\pi \cdot 32\]

\[S = 128\pi\]

Поэтому, площадь поверхности сферы, заданной уравнением \(x^2+y^2+z^2-2x+6y-4z=11\) и пересекающей плоскостью \(x=4\), равна \(128\pi\).