Знайдіть три додатні числа, сума яких дорівнює 12, але вони утворюють арифметичну прогресію. Якщо до них відповідно

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть первое число в арифметической прогрессии равно \(a\), а разность между числами равна \(d\). Тогда второе число будет \(a + d\), а третье число будет \(a + 2d\).

Мы знаем, что сумма трех чисел равна 12, поэтому мы можем составить уравнение:

\(a + (a + d) + (a + 2d) = 12\)

Раскроем скобки:

\(3a + 3d = 12\)

Теперь мы знаем, что два числа из геометрической прогрессии равны:

\(a + 1 = k \cdot (a + d)\), где \(k\) - множитель для геометрической прогрессии.

Также мы знаем, что два других числа из геометрической прогрессии равны:

\(a + 2 = k \cdot (a + 2d)\)

Поделим второе уравнение на первое:

\(\frac{{a + 2}}{{a + 1}} = \frac{{k \cdot (a + 2d)}}{{k \cdot (a + d)}}\)

Упростим:

\(\frac{{a + 2}}{{a + 1}} = \frac{{a + 2d}}{{a + d}}\)

Раскроем скобки:

\(\frac{{a + 2}}{{a + 1}} = \frac{{a + 2 \cdot (a + d)}}{{a + d}}\)

Решим эту пропорцию. Умножим крест-накрест:

\((a + 2) \cdot (a + d) = (a + 2 \cdot (a + d)) \cdot (a + 1)\)

Раскроем скобки:

\(a^2 + (a + d) \cdot (a + 2) = a^2 + 2 \cdot (a + d) \cdot (a + 1) + 2 \cdot (a + d)\)

Раскроем скобки:

\(a^2 + a \cdot (a + 2) + d \cdot (a + 2) = a^2 + 2 \cdot (a^2 + 3a + 2 \cdot d) + 2 \cdot (a + d)\)

Упростим:

\(a^2 + a^2 + 2a + d \cdot (a + 2) = a^2 + 2a^2 + 6a + 4 \cdot d + 2a + 2d\)

Сократим подобные слагаемые:

\(2a^2 + 2a + 2 \cdot d \cdot a + 2 \cdot d = 2a^2 + 6a + 4 \cdot d + 2a + 2d\)

Упростим:

\(2 \cdot d \cdot a = 6a + 4 \cdot d\)

Делим обе части уравнения на \(2 \cdot a\):

\(d = 3 + 2 \cdot \frac{d}{a}\)

Теперь мы знаем равенство между \(d\) и \(a\). Подставим это равенство в уравнение, которое мы получили из суммы арифметической прогрессии:

\(3a + 3 \cdot (3 + 2 \cdot \frac{d}{a}) = 12\)

Раскроем скобки:

\(3a + 9 + 6 \cdot \frac{d}{a} = 12\)

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

\(3a - 3d = 3\)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\(\begin{cases} 2 \cdot d \cdot a = 6a + 4 \cdot d \\ 3a - 3d = 3 \end{cases}\)

Решим эту систему уравнений. Выразим \(a\) из уравнения \(3a - 3d = 3\):

\(a = d + 1\)

Подставим это выражение в уравнение \(2 \cdot d \cdot a = 6a + 4 \cdot d\):

\(2 \cdot d \cdot (d + 1) = 6 \cdot (d + 1) + 4 \cdot d\)

Раскроем скобки:

\(2d^2 + 2d = 6d + 6 + 4d\)

Упростим:

\(2d^2 + 2d = 10d + 6\)

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

\(2d^2 - 8d - 6 = 0\)

Решим это квадратное уравнение. Так как оно не разлагается на целые множители, воспользуемся формулой дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\)

У нас есть квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), поэтому \(a = 2\), \(b = -8\), \(c = -6\).

\(D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 64 + 48 = 112\)

Дискриминант \(D\) равен 112.

Так как \(D > 0\), у нас есть два корня:

\(d_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{8 + \sqrt{112}}}{{4}}\)

\(d_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{8 - \sqrt{112}}}{{4}}\)

Рассчитаем значения \(d_1\) и \(d_2\):

\(d_1 \approx 2.618\) или \(d_2 \approx -0.618\)

Так как мы ищем положительные числа, то выберем \(d_1 \approx 2.618\).

Теперь вычислим значение \(a\) с помощью уравнения \(a = d + 1\):

\(a = 2.618 + 1 = 3.618\)

Таким образом, наше решение состоит из трех положительных чисел:

\(a \approx 3.618\), \(a + d \approx 6.236\), \(a + 2d \approx 8.854\)

Округлим числа до двух десятичных знаков:

\(a \approx 3.62\), \(a + d \approx 6.24\), \(a + 2d \approx 8.85\)

Ответ: \(a \approx 3.62\), \(a + d \approx 6.24\), \(a + 2d \approx 8.85\)