Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, якщо бічна сторона ділиться точкою дотику вписаного кола у відношенні 8

Хорошо! Для решения данной задачи нам понадобятся знания о свойствах равнобедренных треугольников и вписанных окружностей.

Для начала, построим рисунок для лучшего понимания условия задачи.

\[ Рисунок \]

Пусть основание равнобедренного треугольника будет AB, а вершина - C. Из условия задачи известно, что боковая сторона треугольника делится точкой касания окружности на два отрезка в отношении 8:9. Обозначим точку касания как D, а точку деления стороны AB как E, где AE = 8x и EB = 9x.

Так как радиус вписанного круга известен, обозначим его как r.

Теперь приступим к решению задачи. Нам нужно найти площадь треугольника.

Для начала, найдем высоту треугольника, опущенную из вершины C на основание AB. Обозначим эту высоту как h.

Так как треугольник ABC является равнобедренным, высота h также будет являться медианой и биссектрисой.

Также, по свойству биссектрисы в треугольнике, мы можем сказать, что отношение длин боковой стороны треугольника к длине отрезка, на который она делится биссектрисой, равно отношению длин оставшихся частей этой боковой стороны. В нашем случае, это отрезки CD и ED.

Из этого свойства мы можем записать следующее уравнение:

\(\frac{CE}{EB} = \frac{CD}{AE}\)

Подставим известные значения и продолжим решение:

\(\frac{9x}{8x} = \frac{r}{8x + r}\)

Упростим уравнение, умножив обе части на \(8x + r\):

\(9(8x + r) = 8x \cdot r\)

\(72x + 9r = 8rx\)

\(9r = 8rx - 72x\)

\(9r = x(8r - 72)\)

\(x = \frac{9r}{8r - 72}\)

Теперь, используя найденное значение x, можем найти длины отрезков AE и EB:

\(AE = 8x\)

\(= 8 \cdot \frac{9r}{8r - 72}\)

\(= \frac{72r}{8r - 72}\)

\(EB = 9x\)

\(= 9 \cdot \frac{9r}{8r - 72}\)

\(= \frac{81r}{8r - 72}\)

Далее, мы можем использовать формулу для площади равнобедренного треугольника:

\(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h\)

\(= \frac{1}{2} \cdot (AE + EB) \cdot h\)

\(= \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{72r}{8r - 72} + \frac{81r}{8r - 72}\right) \cdot h\)

\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{153r}{8r - 72} \cdot h\)

Теперь нам нужно найти высоту треугольника h. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике CDE:

\(h^2 + r^2 = (8x)^2\)

\(h^2 + r^2 = 64x^2\)

Подставим значение x:

\(h^2 + r^2 = 64\left(\frac{9r}{8r - 72}\right)^2\)

Упростим это уравнение:

\(h^2 + r^2 = \frac{64 \cdot 81r^2}{(8r - 72)^2}\)

Найдем значение h:

\(h^2 = \frac{64 \cdot 81r^2}{(8r - 72)^2} - r^2\)

\(h^2 = \frac{64 \cdot 81r^2 - r^2(8r - 72)^2}{(8r - 72)^2}\)

\(h = \sqrt{\frac{64 \cdot 81r^2 - r^2(8r - 72)^2}{(8r - 72)^2}}\)

Теперь мы можем вернуться к формуле площади и подставить найденное значение h:

\(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{153r}{8r - 72} \cdot \sqrt{\frac{64 \cdot 81r^2 - r^2(8r - 72)^2}{(8r - 72)^2}}\)

Это и есть искомая площадь равнобедренного треугольника. Таким образом, мы решаем задачу с помощью поэтапного объяснения и обоснования каждого шага.