Знайдіть об єм піраміди, яка має рівнобедрений прямокутний трикутник основою. Катет цього трикутника дорівнює

Для решения данной задачи нам потребуется использовать формулу для вычисления объема пирамиды.

Общая формула объема пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}\times S_{\text{основания}}\times h$$

где $V$ - объем пирамиды, $S_{\text{основания}}$ - площадь основания пирамиды, $h$ - высота пирамиды.

Нам известно, что основанием пирамиды является равнобедренный прямоугольный треугольник, а один из катетов этого треугольника равен 4 см. Для начала, найдем площадь основания пирамиды.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

$$S_{\text{основания}}=\frac{1}{2}\times a\times b$$

где $a$ и $b$ - длины катетов треугольника.

В нашем случае, один из катетов равен 4 см. Так как треугольник равнобедренный, то второй катет также равен 4 см. Подставим значения в формулу:

$$S_{\text{основания}}=\frac{1}{2}\times 4\text{см}\times 4\text{см}=8{\text{см}}^2$$

Теперь нам осталось найти высоту пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, так как у нас равнобедренный прямоугольный треугольник.

Теорема Пифагора гласит:

$$c^2=a^2+b^2$$

где $c$ - гипотенуза треугольника, $a$ и $b$ - катеты треугольника.

В нашем случае, катеты равны 4 см, следовательно:

$$c^2=4^2+4^2=16+16=32$$

Чтобы найти гипотенузу $c$, извлечем корень из полученного значения:

$$c=\sqrt{32}\approx 5.66$$

Теперь нам осталось найти высоту пирамиды $h$. Мы знаем, что боковые грани пирамиды, содержащие углы треугольника, перпендикулярны к плоскости основания. Следовательно, высота пирамиды будет равна гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника.

Таким образом, $h=c=5.66$ см.

Теперь мы можем найти объем пирамиды, подставив известные значения в формулу:

$$V=\frac{1}{3}\times 8{\text{см}}^2\times 5.66\text{см}\approx 15.06{\text{см}}^3$$

Ответ: Объем пирамиды, которая имеет равнобедренный прямоугольный треугольник основой и катет равным 4 см, равен примерно 15.06 см${}^3$.