Знайдіть об єм піраміди, яка має рівнобедрений прямокутний трикутник основою. Катет цього трикутника дорівнює

Для решения данной задачи нам потребуется использовать формулу для вычисления объема пирамиды.

Общая формула объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h \]

где \( V \) - объем пирамиды, \( S_{\text{основания}} \) - площадь основания пирамиды, \( h \) - высота пирамиды.

Нам известно, что основанием пирамиды является равнобедренный прямоугольный треугольник, а один из катетов этого треугольника равен 4 см. Для начала, найдем площадь основания пирамиды.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times a \times b \]

где \( a \) и \( b \) - длины катетов треугольника.

В нашем случае, один из катетов равен 4 см. Так как треугольник равнобедренный, то второй катет также равен 4 см. Подставим значения в формулу:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times 4 \; \text{см} \times 4 \; \text{см} = 8 \; \text{см}^2 \]

Теперь нам осталось найти высоту пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, так как у нас равнобедренный прямоугольный треугольник.

Теорема Пифагора гласит:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

где \( c \) - гипотенуза треугольника, \( a \) и \( b \) - катеты треугольника.

В нашем случае, катеты равны 4 см, следовательно:

\[ c^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32 \]

Чтобы найти гипотенузу \( c \), извлечем корень из полученного значения:

\[ c = \sqrt{32} \approx 5.66 \]

Теперь нам осталось найти высоту пирамиды \( h \). Мы знаем, что боковые грани пирамиды, содержащие углы треугольника, перпендикулярны к плоскости основания. Следовательно, высота пирамиды будет равна гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника.

Таким образом, \( h = c = 5.66 \) см.

Теперь мы можем найти объем пирамиды, подставив известные значения в формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \times 8 \; \text{см}^2 \times 5.66 \; \text{см} \approx 15.06 \; \text{см}^3 \]

Ответ: Объем пирамиды, которая имеет равнобедренный прямоугольный треугольник основой и катет равным 4 см, равен примерно 15.06 см\(^3\).