Знайдіть максимальну висоту трикутника зі сторонами 4 см, 13 см і

Для решения данной задачи, воспользуемся формулой Герона. Формула Герона позволяет найти площадь треугольника по длинам его сторон и радиусу вписанной окружности. Для того чтобы найти максимальную высоту треугольника, нам понадобится найти его площадь и длину основания, поскольку высота треугольника является отношением площади к основанию.

Шаг 1: Найдем полупериметр треугольника \(p\) по формуле \(\frac{{a + b + c}}{2}\), где \(a\), \(b\), и \(c\) – стороны треугольника.
\[p = \frac{{4 + 13 + 15}}{2} = 16\]

Шаг 2: Найдем площадь треугольника по формуле Герона \(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(\sqrt{x}\) – квадратный корень из числа \(x\).
\[S = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24\]

Шаг 3: Найдем длину основания треугольника \(b\). Воспользуемся формулой \(S = \frac{{b \cdot h}}{2}\), где \(h\) – высота треугольника.
\[24 = \frac{{b \cdot h}}{2} \Rightarrow 24 \cdot 2 = b \cdot h \Rightarrow 48 = b \cdot h\]

Шаг 4: Найдем максимальную высоту треугольника. Для этого найдем максимальное значение высоты, которое получится при минимальном значении основания треугольника. Примем основание треугольника равным 4 см и найдем соответствующую этому значению высоту \(h\).
\[48 = 4 \cdot h \Rightarrow h = \frac{48}{4} = 12\]

Таким образом, максимальная высота данного треугольника равна 12 см, а основание равно 4 см.

Данное решение достаточно подробно и дает все необходимые шаги для нахождения максимальной высоты треугольника. Каждый шаг сопровожден математическими выкладками и объяснениями.