Знайдіть кут М трикутника МРТ, використовуючи послідовне рішення. Дано координати точок М (2; 1; 3), Р (7; 4; 5

― Хорошо, давайте решим задачу. У нас даны координаты трех точек \(М(2; 1; 3)\), \(Р(7; 4; 5)\) и \(Т(4; 6; 2)\), и нам нужно найти угол \(М\) треугольника \(МРТ\).

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться косинусной формулой для нахождения угла между двумя векторами. Эта формула имеет вид:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|}}
\]

где \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) - это векторы, а \(\|\mathbf{a}\|\) и \(\|\mathbf{b}\|\) - их длины.

Для начала найдем вектора \(\mathbf{МР}\) и \(\mathbf{МТ}\). Для этого вычислим разности координат:

\(\mathbf{МР} = (7 - 2, 4 - 1, 5 - 3) = (5, 3, 2)\)

\(\mathbf{МТ} = (4 - 2, 6 - 1, 2 - 3) = (2, 5, -1)\)

Теперь найдем длины этих векторов. Для нахождения длины вектора, мы используем формулу:

\(\|\mathbf{v}\| = \sqrt{{v_{1}}^2 + {v_{2}}^2 + {v_{3}}^2}\)

где \(v_1\), \(v_2\) и \(v_3\) - координаты вектора.

\(\|\mathbf{МР}\| = \sqrt{5^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{34}\)

\(\|\mathbf{МТ}\| = \sqrt{2^2 + 5^2 + (-1)^2} = \sqrt{30}\)

Теперь, используя косинусную формулу, мы можем найти косинус угла \(\theta\):

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{МР} \cdot \mathbf{МТ}}}{{\|\mathbf{МР}\| \cdot \|\mathbf{МТ}\|}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{(5, 3, 2) \cdot (2, 5, -1)}}{{\sqrt{34} \cdot \sqrt{30}}}
\]

Теперь выполним вычисления:

\[
\cos(\theta) = \frac{{5 \cdot 2 + 3 \cdot 5 + 2 \cdot (-1)}}{{\sqrt{34} \cdot \sqrt{30}}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{10 + 15 - 2}}{{\sqrt{34} \cdot \sqrt{30}}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{23}}{{\sqrt{34} \cdot \sqrt{30}}} \approx 0.6896
\]

Теперь, чтобы найти угол \(\theta\), мы должны найти обратный косинус от этого значения. Используя тригонометрическую функцию \(\cos^{-1}\), получим:

\[
\theta = \cos^{-1}(0.6896) \approx 45.31^{\circ}
\]

Итак, угол \(М\) треугольника \(МРТ\) равен приблизительно \(45.31^{\circ}\).