Завтраға дейін сұрақтарды қойыңдар. Қатарлы сан есімдер туралы мәтіннің қысқаша мазмұнын жазыңдар

Разумеется, я с радостью помогу вам с задачей! Вот краткое содержание на тему "Комплексные числа":

Комплексные числа представляют собой числа вида \(a + bi\), где \(a\) и \(b\) - это вещественные числа, а \(i\) - мнимая единица (\(i\) - корень квадратный из -1).

Основные операции с комплексными числами включают сложение, вычитание, умножение и деление. Давайте рассмотрим каждую из этих операций пошагово:

1. Сложение: Для сложения комплексных чисел необходимо сложить их вещественные части и мнимые части по отдельности. Например, если у нас есть комплексные числа \(z_1 = 2 + 3i\) и \(z_2 = 4 - 2i\), то сумма будет:

\[z_1 + z_2 = (2 + 4) + (3 - 2)i = 6 + i\]

2. Вычитание: Вычитание комплексных чисел также происходит путем вычитания их вещественных и мнимых частей. Например, если у нас есть комплексные числа \(z_1 = 2 + 3i\) и \(z_2 = 4 - 2i\), то разность будет:

\[z_1 - z_2 = (2 - 4) + (3 + 2)i = -2 + 5i\]

3. Умножение: Умножение комплексных чисел выполняется по правилу распределения и свойству \(i^2 = -1\). Например, если у нас есть комплексные числа \(z_1 = 2 + 3i\) и \(z_2 = 4 - 2i\), то их произведение будет:

\[z_1 \cdot z_2 = (2 \cdot 4 + 2 \cdot (-2i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-2i)) = 8 + (-4i) + 12i + (-6i^2) = 8 + 8i - 6(-1) = 14 + 8i\]

4. Деление: Деление комплексных чисел осуществляется путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное число знаменателя. Сопряженное комплексное число \(z\) обозначается как \(\overline{z}\) и получается путем изменения знака мнимой части. Например, если у нас есть комплексные числа \(z_1 = 2 + 3i\) и \(z_2 = 4 - 2i\), то их частное будет:

\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{(2 + 3i)(4 + 2i)}{(4 - 2i)(4 + 2i)} = \frac{(8 + 14i + 6i + 9i^2)}{(16 + 8i - 8i - 4i^2)} = \frac{(8 + 20i + 9(-1))}{(16 - 4(-1))} = \frac{(-1 + 20i)}{20} = -\frac{1}{20} + i\]

Таким образом, мы рассмотрели основные операции с комплексными числами и продемонстрировали пошаговые решения для каждой из них. Надеюсь, эта информация поможет вам лучше понять тему комплексных чисел. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!