Завод по производству консервов выпускает фруктовые компоты в двух разных типах упаковки — стеклянной и жестяной

Конечно! Для начала рассмотрим таблицу себестоимости и оптовых цен завода за 1 центнер продукции для обеих типов упаковки:

\[
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\text{Тип упаковки} & \text{Себестоимость, руб/центнер} & \text{Оптовая цена, руб/центнер} \\
\hline
\text{Стеклянная} & 1200 & 2000 \\
\hline
\text{Жестяная} & 1000 & 1800 \\
\hline
\end{tabular}
\]

Теперь перейдем к решению задачи. Пусть \(x\) - количество центнеров компотов, произведенных в стеклянной таре, а \(y\) - количество центнеров компотов, произведенных в жестяной таре.

Исходя из условия, мы знаем следующие ограничения:

\begin{align*}
x + y &\geq 20 \\
x &\leq 90 \\
y &\leq 80
\end{align*}

Также у нас есть функция прибыли завода, которая задается следующим образом:

\[
P(x, y) = 2000x + 1800y - (1200x + 1000y) = 800x + 800y
\]

Нашей задачей является максимизация функции прибыли \(P(x, y)\) при условиях ограничений. Для решения этой задачи воспользуемся методом графического представления.

Построим график на координатной плоскости, где ось \(x\) представляет количество центнеров компотов в стеклянной таре, а ось \(y\) - количество центнеров компотов в жестяной таре. Обозначим на графике области, которые соответствуют ограничениям задачи.

\[
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines=center,
xlabel={Центнеры стеклянной тары},
ylabel={Центнеры жестяной тары},
xmin=0, xmax=100,
ymin=0, ymax=100,
xtick={0,20,40,60,80,100},
ytick={0,20,40,60,80,100},
grid=both,
]
\addplot[draw=none]
coordinates {(20,0) (20,100)};
\addplot[draw=none]
coordinates {(0,20) (100,20)};
\addplot[draw=none]
coordinates {(0,0) (100,100)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]

Зеленая область на графике представляет ограничение \(x + y \geq 20\), синяя область - \(x \leq 90\), и красная область - \(y \leq 80\). Мы можем найти точки пересечения этих областей, которые будут являться угловыми точками многоугольника, ограничивающего нашу область решений.

Следующим шагом является нахождение значений прибыли в этих угловых точках.

Для этого вычислим прибыль для каждой угловой точки:

\begin{align*}
P(20, 20) &= 800 \cdot 20 + 800 \cdot 20 = 32000 \\
P(20, 80) &= 800 \cdot 20 + 800 \cdot 80 = 72000 \\
P(90, 20) &= 800 \cdot 90 + 800 \cdot 20 = 88000 \\
P(90, 80) &= 800 \cdot 90 + 800 \cdot 80 = 144000
\end{align*}

Таким образом, мы получаем следующую таблицу значений прибыли:

\[
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\text{Координаты} (x, y) & \text{Значение прибыли} \\
\hline
(20, 20) & 32000 \\
\hline
(20, 80) & 72000 \\
\hline
(90, 20) & 88000 \\
\hline
(90, 80) & 144000 \\
\hline
\end{tabular}
\]

Таким образом, максимальная прибыль достигается при производстве 90 центнеров компотов в стеклянной таре и 80 центнеров компотов в жестяной таре. Максимальная прибыль составит 144000 рублей.

Надеюсь, это решение поможет вам понять данную задачу и выполнить ее успешно!