Заданы векторы a, b и c. Требуется: а) найти значение смешанного произведения этих трех векторов; б) расчитать модуль

Хорошо, решим задачу. Для начала запишем векторы a, b и c:

\[a = 2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + \mathbf{k}\]
\[b = \mathbf{j} + 4\mathbf{k}\]
\[c = 5\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k}\]

а) Найдем значение смешанного произведения этих векторов. Смешанное произведение трех векторов a, b и c вычисляется по формуле:

\[\mathbf{a \cdot (b \times c)}\]

Сначала найдем векторное произведение b и c:

\[\mathbf{b \times c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 2 & -3 \end{vmatrix}\]

Вычислим определитель:

\[\mathbf{b \times c} = (1 \cdot (-3) - 4 \cdot 2)\mathbf{i} - (0 \cdot (-3) - 4 \cdot 5)\mathbf{j} + (0 \cdot 2 - 1 \cdot 5)\mathbf{k}\]
\[\mathbf{b \times c} = -11\mathbf{i} + 20\mathbf{j} + 5\mathbf{k}\]

Теперь найдем смешанное произведение a, b и c:

\[\mathbf{a \cdot (b \times c)} = (2 \cdot (-11) + (-3) \cdot 20 + 1 \cdot 5)\]

Выполняя вычисления:

\[\mathbf{a \cdot (b \times c)} = -22 - 60 + 5 = -77\]

Таким образом, значение смешанного произведения этих трех векторов равно -77.

б) Рассчитаем модуль векторного произведения a и c. Модуль вектора вычисляется с помощью формулы:

\[|\mathbf{a \times c}| = \sqrt{(\mathbf{a \times c}) \cdot (\mathbf{a \times c})}\]

Подставим значения a и c в формулу:

\[\mathbf{a \times c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 5 & 2 & -3 \end{vmatrix}\]

Вычислим определитель:

\[\mathbf{a \times c} = (-3 \cdot (-3) - 1 \cdot 2)\mathbf{i} - (2 \cdot (-3) - 5 \cdot 1)\mathbf{j} + (2 \cdot 2 - (-3) \cdot 5)\mathbf{k}\]
\[\mathbf{a \times c} = -7\mathbf{i} - 11\mathbf{j} + 11\mathbf{k}\]

Теперь найдем модуль вектора:

\[\left|\mathbf{a \times c}\right| = \sqrt{(-7)^2 + (-11)^2 + 11^2} = \sqrt{49 + 121 + 121} = \sqrt{291} \approx 17.03\]

Таким образом, модуль векторного произведения a и c составляет около 17.03.

в) Вычислим скалярное произведение векторов a и b. Скалярное произведение вычисляется по формуле:

\[\mathbf{a \cdot b} = 2 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 + 1 \cdot 4 = -3 + 4 = 1\]

Таким образом, скалярное произведение векторов a и b равно 1.

г) Теперь определим, являются ли вектора a и c коллинеарными или ортогональными. Для этого сравним значение смешанного произведения с нулем:

а) a и 3b:

\[\mathbf{a \cdot (3b)} = 2 \cdot (0 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0) - 3 \cdot (0 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1) + 1 \cdot (0 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 0)\]
\[\mathbf{a \cdot (3b)} = 6 - 12 + 12 = 6\]

б) 3a и 2c:

\[\mathbf{(3a) \cdot (2c)} = (2 \cdot 3 + (-3) \cdot 0 + 1 \cdot 0) \cdot 0 + (2 \cdot (-3) + (-3) \cdot 5 + 1 \cdot 2) \cdot 2 + (2 \cdot 2 + (-3) \cdot 2 + 1 \cdot (-3)) \cdot (-3)\]
\[\mathbf{(3a) \cdot (2c)} = 6 \cdot 0 + (-6 - 15 + 2) \cdot 2 + (4 - 6 - 3) \cdot (-3) = 0 - 38 + 27 = -11\]

в) b и -4c:

\[\mathbf{b \cdot (-4c)} = 0 \cdot (-4 \cdot 5 + 4 \cdot 2) + 1 \cdot (-4 \cdot 2 + 4 \cdot (-3)) + 4 \cdot (-4 \cdot (-3) + 5 \cdot 2)\]
\[\mathbf{b \cdot (-4c)} = 0 + (-4 \cdot 2 - 4 \cdot 3) + 4 \cdot (12 + 10) = 0 - 20 + 88 = 68\]

г) a и c:

\[\mathbf{a \cdot c} = 2 \cdot 5 + (-3) \cdot 2 + 1 \cdot (-3) = 10 - 6 - 3 = 1\]

д) a, 2b, 3c:

\[\mathbf{a \cdot (2b)} = 2 \cdot (0 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 0) - 3 \cdot (0 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 1) + 1 \cdot (0 + 2 \cdot 4 + 4 \cdot 0)\]
\[\mathbf{a \cdot (2b)} = 4 - 12 + 8 = 0\]

\[\mathbf{(2b) \cdot (3c) = (0 \cdot 15 - 2 \cdot 2) \cdot 3 + (0 \cdot (-3) - 2 \cdot 5) \cdot (-3) + (0 \cdot 2 - 2 \cdot (-3)) \cdot 5}\]
\[\mathbf{(2b) \cdot (3c) = 18 - 3 \cdot 12 + 6 \cdot 5 = 18 - 36 + 30 = 12}\]

Таким образом:

а) a и 3b: не коллинеарные и не ортогональные, так как смешанное произведение равно 6.
б) 3a и 2c: не коллинеарные и не ортогональные, так как смешанное произведение равно -11.
в) b и -4c: не коллинеарные и не ортогональные, так как скалярное произведение равно 68.
г) a и c: не коллинеарные и не ортогональные, так как скалярное произведение равно 1.
д) a, 2b и 3c: не коллинеарные и не ортогональные, так как смешанное произведение равно 12.