Задание № 2. Заданы точки А1(7; 0; 3), A2(3; 0; -1), A3(3; 0; 5), A4(4; 3; -2). С помощью векторной алгебры найдите

Хорошо, разберем задачу поэтапно:

а) Для нахождения длины отрезка \(A_1A_2\) мы можем воспользоваться формулой для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула имеет следующий вид:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

Подставляя значения координат точек \(A_1\) и \(A_2\), получим:

\[d = \sqrt{{(3 - 7)^2 + (0 - 0)^2 + (-1 - 3)^2}}\]

Раскроем скобки и произведем вычисления:

\[d = \sqrt{{16 + 0 + 16}} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\]

Таким образом, длина отрезка \(A_1A_2\) равна \(4\sqrt{2}\).

б) Чтобы найти угол между отрезками \(A_1A_2\) и \(A_1A_3\), мы можем воспользоваться формулой для нахождения угла между двумя векторами:

\[\cos{\theta} = \frac{{\mathbf{A_1A_2} \cdot \mathbf{A_1A_3}}}{{|\mathbf{A_1A_2}| \cdot |\mathbf{A_1A_3}|}}\]

где \(\mathbf{A_1A_2}\) и \(\mathbf{A_1A_3}\) - векторы, соединяющие соответственно точки \(A_1\) и \(A_2\), \(A_1\) и \(A_3\), а \(\theta\) - искомый угол.

Для начала найдем векторы \(\mathbf{A_1A_2}\) и \(\mathbf{A_1A_3}\). Вектор можно представить как разность координат двух точек:

\[\mathbf{A_1A_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\]

\[\mathbf{A_1A_3} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1)\]

Подставляя значения координат точек \(A_1\), \(A_2\) и \(A_3\), получим:

\[\mathbf{A_1A_2} = (3 - 7, 0 - 0, -1 - 3) = (-4, 0, -4)\]

\[\mathbf{A_1A_3} = (3 - 7, 0 - 0, 5 - 3) = (-4, 0, 2)\]

Теперь найдем скалярное произведение векторов \(\mathbf{A_1A_2}\) и \(\mathbf{A_1A_3}\):

\[\mathbf{A_1A_2} \cdot \mathbf{A_1A_3} = (-4) \cdot (-4) + 0 \cdot 0 + (-4) \cdot 2 = 16 - 8 = 8\]

Вычислим модули векторов \(\mathbf{A_1A_2}\) и \(\mathbf{A_1A_3}\):

\[|\mathbf{A_1A_2}| = \sqrt{{(-4)^2 + 0^2 + (-4)^2}} = \sqrt{{16 + 16}} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\]

\[|\mathbf{A_1A_3}| = \sqrt{{(-4)^2 + 0^2 + 2^2}} = \sqrt{{16 + 4}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]

Подставляя найденные значения в формулу для нахождения угла, получим:

\[\cos{\theta} = \frac{{8}}{{4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{5}}} = \frac{{8}}{{8\sqrt{10}}} = \frac{1}{{\sqrt{10}}}\]

Опустим дальнейшие выкладки, но с помощью тригонометрических функций можно найти значение угла \(\theta\).