Задание 1. Определите количество возможных уникальных 4-буквенных слов, которые можно составить из букв а, б, в

Задание 1. Для определения количества возможных уникальных 4-буквенных слов с использованием букв а, б, в, г, д, е, нужно рассмотреть перестановки этих букв и из них исключить повторы.

Сначала найдем все возможные перестановки 4 букв:
\[
P(7, 4) = \frac{{7!}}{{(7-4)!}} = \frac{{7!}}{{3!}} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840
\]

Теперь учтем, что каждая буква должна использоваться только один раз. Для первой буквы есть 7 вариантов выбора, для второй - 6, для третьей - 5 и для четвертой - 4. Умножим все эти варианты выбора:
\[
7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840
\]

Таким образом, количество возможных уникальных 4-буквенных слов, которые можно составить из букв а, б, в, г, д, е, составляет 840.

Теперь рассмотрим задачу о количестве различных 3-буквенных слов на тех же условиях. По аналогии с предыдущей задачей, найдем перестановки этих букв:
\[
P(7, 3) = \frac{{7!}}{{(7-3)!}} = \frac{{7!}}{{4!}} = 7 \times 6 \times 5 = 210
\]

Таким образом, количество различных 3-буквенных слов, которые можно составить из букв а, б, в, г, д, е, составляет 210.

Задание 2. Для определения количества различных путей от города A в город C, рассмотрим количество возможных маршрутов.

Из города A есть 3 возможных пути в город B, так как существует 3 сельские дороги. Из города B есть 2 возможных пути в город C, так как существует 2 автомобильные дороги.

Таким образом, общее количество различных путей от города A в город C равно:
\[
3 \times 2 = 6
\]

Задание 3. Для определения количества различных песен, которые будут исполнены на Рождественском концерте, нужно рассмотреть количество возможных комбинаций из 4 песен.

Для каждой песни есть 2 варианта: она может быть исполнена или не быть исполнена.

Таким образом, общее количество различных песен, которые будут исполнены на концерте, равно:
\[
2^4 = 16
\]

Ответ:
- Для задания 1: 840 возможных уникальных 4-буквенных слов и 210 возможных уникальных 3-буквенных слов.
- Для задания 2: 6 различных путей от города A в город C.
- Для задания 3: 16 различных песен, которые будут исполнены на Рождественском концерте.