Задание 1. Определите:
а) Длину третьей стороны треугольника, если две другие стороны равны 3 см и 6 см, а угол между ними составляет 60°.
б) Периметр треугольника.
в) Площадь треугольника.
г) Радиус окружности, описанной около треугольника.
Задание 2. В треугольнике MNK, где MK = 4 см, MN = 4 koren iz 2.png см и угол NKM равен 135°, найдите градусную меру угла KMN.
Задание 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если две стороны равны 5 см и 18 см, а высота, проведенная к третьей стороне, равна 3 см.
Задание 4. В треугольнике ABC, сторона CB... (The remaining part of the question wasn"t provided.)
а) Длину третьей стороны треугольника, если две другие стороны равны 3 см и 6 см, а угол между ними составляет 60°.
б) Периметр треугольника.
в) Площадь треугольника.
г) Радиус окружности, описанной около треугольника.
Задание 2. В треугольнике MNK, где MK = 4 см, MN = 4 koren iz 2.png см и угол NKM равен 135°, найдите градусную меру угла KMN.
Задание 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если две стороны равны 5 см и 18 см, а высота, проведенная к третьей стороне, равна 3 см.
Задание 4. В треугольнике ABC, сторона CB... (The remaining part of the question wasn"t provided.)
Zvezdopad_Volshebnik
Задание 1:
а) Для определения длины третьей стороны треугольника, нам необходимо использовать теорему синусов. Эта теорема устанавливает отношение между сторонами и углами треугольника. В данном случае, у нас уже известны две стороны и угол между ними, поэтому мы можем использовать следующую формулу:
\[
\frac{{a}}{{\sin A}} = \frac{{b}}{{\sin B}} = \frac{{c}}{{\sin C}}
\]
где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - противолежащие углы.
Так как угол между уже известными сторонами равен 60°, то у нас имеется следующее:
\[
\frac{{3}}{{\sin 60°}} = \frac{{6}}{{\sin B}}
\]
Находим значение sin 60°:
\[
\sin 60° = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}
\]
Подставляем значения:
\[
\frac{{3}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}}} = \frac{{6}}{{\sin B}}
\]
Упрощаем:
\[
\frac{{6}}{{\sin B}} = \frac{{3 \times 2}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{6}}{{\sqrt{3}}}
\]
Сокращаем:
\[
\frac{{6}}{{\sin B}} = 2\sqrt{3}
\]
Используем обратное отношение sin B:
\[
\sin B = \frac{{1}}{{2\sqrt{3}}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{6}}
\]
Определяем сторону c:
\[
c = \frac{{b \times \sin C}}{{\sin B}} = \frac{{6 \times \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{6}}}} = 12
\]
Таким образом, третья сторона треугольника равна 12 см.
б) Чтобы найти периметр треугольника, нужно сложить длины всех его сторон. В данном случае, у нас известны все стороны треугольника: 3 см, 6 см и 12 см. Поэтому, периметр можно вычислить следующим образом:
\[
\text{{Периметр}} = 3 \, \text{{см}} + 6 \, \text{{см}} + 12 \, \text{{см}} = 21 \, \text{{см}}
\]
Ответ: Периметр треугольника равен 21 см.
в) Для определения площади треугольника, мы можем использовать формулу полупериметра, известных сторон и радиуса вписанной окружности. В нашем случае, у нас известны все стороны треугольника: 3 см, 6 см и 12 см. Радиус вписанной окружности можно найти, используя формулу:
\[
r = \frac{{abc}}{{4S}}
\]
где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.
Подставляем значения:
\[
r = \frac{{3 \times 6 \times 12}}{{4S}}
\]
Так как у нас неизвестное значение S, давайте на него распишем формулу для площади треугольника:
\[
S = \sqrt{{p(p-a)(p-b)(p-c)}}
\]
где p - полупериметр треугольника, который можно вычислить следующим образом:
\[
p = \frac{{a+b+c}}{{2}}
\]
Подставляем значения:
\[
p = \frac{{3+6+12}}{{2}} = \frac{{21}}{{2}}
\]
Упрощаем:
\[
p = \frac{{21}}{{2}}
\]
Теперь можем вычислить значение S:
\[
S = \sqrt{{\frac{{21}}{{2}} \left(\frac{{21}}{{2}}-3\right) \left(\frac{{21}}{{2}}-6\right) \left(\frac{{21}}{{2}}-12\right)}}
\]
\[
S = \sqrt{{\frac{{21}}{{2}} \left(\frac{{33}}{{2}}\right) \left(\frac{{15}}{{2}}\right) \left(\frac{{9}}{{2}}\right)}}
\]
\[
S = \sqrt{{\frac{{21 \times 33 \times 15 \times 9}}{{4 \times 8}}}}
\]
Теперь можно вычислить радиус вписанной окружности:
\[
r = \frac{{3 \times 6 \times 12}}{{4 \sqrt{{\frac{{21 \times 33 \times 15 \times 9}}{{32}}}}}}
\]
И посчитать площадь треугольника:
\[
S = \sqrt{{\frac{{21 \times 33 \times 15 \times 9}}{{4 \times 8}}}} = \sqrt{{\frac{{21 \times 33 \times 15 \times 9}}{{32}}}}
\]
Таким образом, площадь треугольника равна \(\sqrt{{\frac{{21 \times 33 \times 15 \times 9}}{{32}}}}\).
г) Для определения радиуса окружности, описанной около треугольника, мы можем использовать формулу радиуса описанной окружности, которая связывает стороны треугольника и радиус данной окружности. В данном случае, у нас известны все стороны треугольника: 3 см, 6 см и 12 см. Радиус описанной окружности можно найти, используя формулу:
\[
R = \frac{{abc}}{{4S}}
\]
где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.
Подставляем значения:
\[
R = \frac{{3 \times 6 \times 12}}{{4S}}
\]
Теперь можем использовать значение площади треугольника, которое мы нашли в предыдущем пункте:
\[
R = \frac{{3 \times 6 \times 12}}{{4 \sqrt{{\frac{{21 \times 33 \times 15 \times 9}}{{32}}}}}}
\]
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника, равен \(\frac{{3 \times 6 \times 12}}{{4 \sqrt{{\frac{{21 \times 33 \times 15 \times 9}}{{32}}}}}}\).
Задание 2:
В данном треугольнике уже известны две стороны и угол между ними. Мы можем использовать теорему косинусов для нахождения третьей стороны и градусной меры угла KMN.
Теорема косинусов устанавливает отношение между сторонами и углами треугольника. В данном случае, у нас уже известны две стороны треугольника и угол между ними, поэтому мы можем использовать следующую формулу:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C\]
где c - сторона треугольника, a и b - известные стороны, C - угол между ними.
Подставляем значения:
\[c^2 = (4 \, \text{см})^2 + (4 \sqrt{2} \, \text{см})^2 - 2 \cdot 4 \, \text{см} \cdot 4 \sqrt{2} \, \text{см} \cdot \cos 135°\]
\[\text{Упрощаем:}\]
\[c^2 = 16 \, \text{см}^2 + 32 \, \text{см}^2 - 32 \sqrt{2} \, \text{см}^2 \cdot \cos 135°\]
\[\text{Вычисляем:}\]
\[c^2 = 48 \, \text{см}^2 - 32 \sqrt{2} \, \text{см}^2 \cdot \left(- \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]
\[\text{Упрощаем:}\]
\[c^2 = 48 \, \text{см}^2 + 32 \text{см}^2\]
\[\text{Суммируем:}\]
\[c^2 = 80 \, \text{см}^2\]
\[\text{Находим корень:}\]
\[c = \sqrt{80} \, \text{см}\]
Таким образом, длина стороны c равна \(\sqrt{80} \, \text{см}\).
Теперь, чтобы найти градусную меру угла KMN, мы можем использовать теорему синусов. Эта теорема устанавливает отношение между сторонами и углами треугольника. В данном случае, у нас уже известны две стороны и угол между ними, поэтому мы можем использовать следующую формулу:
\[\frac{{a}}{{\sin A}} = \frac{{b}}{{\sin B}} = \frac{{c}}{{\sin C}}\]
где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - противолежащие углы.
В данном случае, у нас известны сторона MN (4 км) и сторона NK (\(\sqrt{80}\) км), поэтому мы можем использовать следующую формулу:
\[\frac{{4 \, \text{см}}}{{\sin KMN}} = \frac{{\sqrt{80} \, \text{см}}}{{\sin NKM}}\]
Теперь мы можем найти градусную меру угла KMN:
\[\sin KMN = \frac{{4 \, \text{см}}}{{\sqrt{80} \, \text{см}}} \cdot \sin NKM\]
\[\text{Упрощаем:}\]
\[\sin KMN = \frac{{\sqrt{5}}}{{2}} \cdot \sin NKM\]
\[\text{Подставляем известное значение:}\]
\[\sin KMN = \frac{{\sqrt{5}}}{{2}} \cdot \left(- \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\right)\]
\[\text{Упрощаем:}\]
\[\sin KMN = - \frac{{\sqrt{10}}}{{4}}\]
Таким образом, градусная мера угла KMN равна \(- \sin^{-1} \left(\frac{{\sqrt{10}}}{{4}}\right)\) градусов.
Задание 3:
Для определения радиуса окружности, описанной около треугольника, мы можем использовать формулу радиуса описанной окружности, которая связывает стороны треугольника и радиус данной окружности. В данном случае, у нас известны две стороны треугольника: 5 см и 18 см, а также высота, проведенная к третьей стороне, равна 3 см.
Чтобы найти радиус описанной окружности, можно использовать следующую формулу:
\[R = \frac{{abc}}{{4S}}\]
где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.
В данном случае, у нас известны стороны треугольника: 5 см и 18 см, а также высота, проведенная к третьей стороне, равна 3 см. Площадь треугольника можно найти, используя следующую формулу:
\[S = \frac{{bh}}{{2}}\]
где b - основание треугольника (проведенная высота), h - высота треугольника.
Подставляем значения:
\[S = \frac{{5 \, \text{см} \times 3 \, \text{см}}}{{2}}\]
\[\text{Упрощаем:}\]
\[S = \frac{{15 \, \text{см}^2}}{{2}}\]
\[S = 7.5 \, \text{см}^2\]
Теперь можем использовать значение площади треугольника, чтобы найти радиус описанной окружности:
\[R = \frac{{5 \, \text{см} \times 18 \, \text{см} \times 3 \, \text{см}}}{{4 \times 7.5 \, \text{см}^2}}\]
\[R = \frac{{270 \, \text{см}^3}}{{30 \, \text{см}^2}}\]
\[R = 9 \, \text{см}\]
Таким образом,
а) Для определения длины третьей стороны треугольника, нам необходимо использовать теорему синусов. Эта теорема устанавливает отношение между сторонами и углами треугольника. В данном случае, у нас уже известны две стороны и угол между ними, поэтому мы можем использовать следующую формулу:
\[
\frac{{a}}{{\sin A}} = \frac{{b}}{{\sin B}} = \frac{{c}}{{\sin C}}
\]
где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - противолежащие углы.
Так как угол между уже известными сторонами равен 60°, то у нас имеется следующее:
\[
\frac{{3}}{{\sin 60°}} = \frac{{6}}{{\sin B}}
\]
Находим значение sin 60°:
\[
\sin 60° = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}
\]
Подставляем значения:
\[
\frac{{3}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}}} = \frac{{6}}{{\sin B}}
\]
Упрощаем:
\[
\frac{{6}}{{\sin B}} = \frac{{3 \times 2}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{6}}{{\sqrt{3}}}
\]
Сокращаем:
\[
\frac{{6}}{{\sin B}} = 2\sqrt{3}
\]
Используем обратное отношение sin B:
\[
\sin B = \frac{{1}}{{2\sqrt{3}}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{6}}
\]
Определяем сторону c:
\[
c = \frac{{b \times \sin C}}{{\sin B}} = \frac{{6 \times \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{6}}}} = 12
\]
Таким образом, третья сторона треугольника равна 12 см.
б) Чтобы найти периметр треугольника, нужно сложить длины всех его сторон. В данном случае, у нас известны все стороны треугольника: 3 см, 6 см и 12 см. Поэтому, периметр можно вычислить следующим образом:
\[
\text{{Периметр}} = 3 \, \text{{см}} + 6 \, \text{{см}} + 12 \, \text{{см}} = 21 \, \text{{см}}
\]
Ответ: Периметр треугольника равен 21 см.
в) Для определения площади треугольника, мы можем использовать формулу полупериметра, известных сторон и радиуса вписанной окружности. В нашем случае, у нас известны все стороны треугольника: 3 см, 6 см и 12 см. Радиус вписанной окружности можно найти, используя формулу:
\[
r = \frac{{abc}}{{4S}}
\]
где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.
Подставляем значения:
\[
r = \frac{{3 \times 6 \times 12}}{{4S}}
\]
Так как у нас неизвестное значение S, давайте на него распишем формулу для площади треугольника:
\[
S = \sqrt{{p(p-a)(p-b)(p-c)}}
\]
где p - полупериметр треугольника, который можно вычислить следующим образом:
\[
p = \frac{{a+b+c}}{{2}}
\]
Подставляем значения:
\[
p = \frac{{3+6+12}}{{2}} = \frac{{21}}{{2}}
\]
Упрощаем:
\[
p = \frac{{21}}{{2}}
\]
Теперь можем вычислить значение S:
\[
S = \sqrt{{\frac{{21}}{{2}} \left(\frac{{21}}{{2}}-3\right) \left(\frac{{21}}{{2}}-6\right) \left(\frac{{21}}{{2}}-12\right)}}
\]
\[
S = \sqrt{{\frac{{21}}{{2}} \left(\frac{{33}}{{2}}\right) \left(\frac{{15}}{{2}}\right) \left(\frac{{9}}{{2}}\right)}}
\]
\[
S = \sqrt{{\frac{{21 \times 33 \times 15 \times 9}}{{4 \times 8}}}}
\]
Теперь можно вычислить радиус вписанной окружности:
\[
r = \frac{{3 \times 6 \times 12}}{{4 \sqrt{{\frac{{21 \times 33 \times 15 \times 9}}{{32}}}}}}
\]
И посчитать площадь треугольника:
\[
S = \sqrt{{\frac{{21 \times 33 \times 15 \times 9}}{{4 \times 8}}}} = \sqrt{{\frac{{21 \times 33 \times 15 \times 9}}{{32}}}}
\]
Таким образом, площадь треугольника равна \(\sqrt{{\frac{{21 \times 33 \times 15 \times 9}}{{32}}}}\).
г) Для определения радиуса окружности, описанной около треугольника, мы можем использовать формулу радиуса описанной окружности, которая связывает стороны треугольника и радиус данной окружности. В данном случае, у нас известны все стороны треугольника: 3 см, 6 см и 12 см. Радиус описанной окружности можно найти, используя формулу:
\[
R = \frac{{abc}}{{4S}}
\]
где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.
Подставляем значения:
\[
R = \frac{{3 \times 6 \times 12}}{{4S}}
\]
Теперь можем использовать значение площади треугольника, которое мы нашли в предыдущем пункте:
\[
R = \frac{{3 \times 6 \times 12}}{{4 \sqrt{{\frac{{21 \times 33 \times 15 \times 9}}{{32}}}}}}
\]
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника, равен \(\frac{{3 \times 6 \times 12}}{{4 \sqrt{{\frac{{21 \times 33 \times 15 \times 9}}{{32}}}}}}\).
Задание 2:
В данном треугольнике уже известны две стороны и угол между ними. Мы можем использовать теорему косинусов для нахождения третьей стороны и градусной меры угла KMN.
Теорема косинусов устанавливает отношение между сторонами и углами треугольника. В данном случае, у нас уже известны две стороны треугольника и угол между ними, поэтому мы можем использовать следующую формулу:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C\]
где c - сторона треугольника, a и b - известные стороны, C - угол между ними.
Подставляем значения:
\[c^2 = (4 \, \text{см})^2 + (4 \sqrt{2} \, \text{см})^2 - 2 \cdot 4 \, \text{см} \cdot 4 \sqrt{2} \, \text{см} \cdot \cos 135°\]
\[\text{Упрощаем:}\]
\[c^2 = 16 \, \text{см}^2 + 32 \, \text{см}^2 - 32 \sqrt{2} \, \text{см}^2 \cdot \cos 135°\]
\[\text{Вычисляем:}\]
\[c^2 = 48 \, \text{см}^2 - 32 \sqrt{2} \, \text{см}^2 \cdot \left(- \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]
\[\text{Упрощаем:}\]
\[c^2 = 48 \, \text{см}^2 + 32 \text{см}^2\]
\[\text{Суммируем:}\]
\[c^2 = 80 \, \text{см}^2\]
\[\text{Находим корень:}\]
\[c = \sqrt{80} \, \text{см}\]
Таким образом, длина стороны c равна \(\sqrt{80} \, \text{см}\).
Теперь, чтобы найти градусную меру угла KMN, мы можем использовать теорему синусов. Эта теорема устанавливает отношение между сторонами и углами треугольника. В данном случае, у нас уже известны две стороны и угол между ними, поэтому мы можем использовать следующую формулу:
\[\frac{{a}}{{\sin A}} = \frac{{b}}{{\sin B}} = \frac{{c}}{{\sin C}}\]
где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - противолежащие углы.
В данном случае, у нас известны сторона MN (4 км) и сторона NK (\(\sqrt{80}\) км), поэтому мы можем использовать следующую формулу:
\[\frac{{4 \, \text{см}}}{{\sin KMN}} = \frac{{\sqrt{80} \, \text{см}}}{{\sin NKM}}\]
Теперь мы можем найти градусную меру угла KMN:
\[\sin KMN = \frac{{4 \, \text{см}}}{{\sqrt{80} \, \text{см}}} \cdot \sin NKM\]
\[\text{Упрощаем:}\]
\[\sin KMN = \frac{{\sqrt{5}}}{{2}} \cdot \sin NKM\]
\[\text{Подставляем известное значение:}\]
\[\sin KMN = \frac{{\sqrt{5}}}{{2}} \cdot \left(- \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}\right)\]
\[\text{Упрощаем:}\]
\[\sin KMN = - \frac{{\sqrt{10}}}{{4}}\]
Таким образом, градусная мера угла KMN равна \(- \sin^{-1} \left(\frac{{\sqrt{10}}}{{4}}\right)\) градусов.
Задание 3:
Для определения радиуса окружности, описанной около треугольника, мы можем использовать формулу радиуса описанной окружности, которая связывает стороны треугольника и радиус данной окружности. В данном случае, у нас известны две стороны треугольника: 5 см и 18 см, а также высота, проведенная к третьей стороне, равна 3 см.
Чтобы найти радиус описанной окружности, можно использовать следующую формулу:
\[R = \frac{{abc}}{{4S}}\]
где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.
В данном случае, у нас известны стороны треугольника: 5 см и 18 см, а также высота, проведенная к третьей стороне, равна 3 см. Площадь треугольника можно найти, используя следующую формулу:
\[S = \frac{{bh}}{{2}}\]
где b - основание треугольника (проведенная высота), h - высота треугольника.
Подставляем значения:
\[S = \frac{{5 \, \text{см} \times 3 \, \text{см}}}{{2}}\]
\[\text{Упрощаем:}\]
\[S = \frac{{15 \, \text{см}^2}}{{2}}\]
\[S = 7.5 \, \text{см}^2\]
Теперь можем использовать значение площади треугольника, чтобы найти радиус описанной окружности:
\[R = \frac{{5 \, \text{см} \times 18 \, \text{см} \times 3 \, \text{см}}}{{4 \times 7.5 \, \text{см}^2}}\]
\[R = \frac{{270 \, \text{см}^3}}{{30 \, \text{см}^2}}\]
\[R = 9 \, \text{см}\]
Таким образом,
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
