Задание 1. Найдите большую полуось орбиты спутника Титания, если его период обращения вокруг Урана составляет примерно

Задание 1. Для решения задачи нам понадобится использовать третий закон Кеплера, который связывает период обращения спутника и его полуось орбиты. Формула этого закона записывается следующим образом:

\[T^2 = \frac{{4\pi^2 a^3}}{{G \cdot M}}\]

где \(T\) - период обращения спутника, \(a\) - большая полуось орбиты, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты.

Перепишем эту формулу для нахождения большой полуоси орбиты:

\[a = \left(\frac{{T^2 \cdot G \cdot M}}{{4\pi^2}}\right)^{1/3}\]

Для начала решим задачу для спутника Ариэль. Подставим значение периода обращения \(T = 2,5\) земных суток и известную орбиту спутника Ариэль \(a = 191000\) километров (\(1\) астрономическая единица (а.е.) равна примерно \(149600000\) километров):

\[a_A = \left(\frac{{(2,5)^2 \cdot G \cdot M_{\text{Уран}}}}{{4\pi^2}}\right)^{1/3}\]

Далее решим задачу для спутника Титания. Подставим значение периода обращения \(T = 8,7\) земных суток:

\[a_T = \left(\frac{{(8,7)^2 \cdot G \cdot M_{\text{Уран}}}}{{4\pi^2}}\right)^{1/3}\]

Теперь, чтобы найти большую полуось орбиты спутника Титания, нам нужно знать массу планеты Уран. К сожалению, эта информация не указана в задаче. Поэтому мы не можем точно определить большую полуось орбиты Титания без этой информации.

Задание 2. Для решения этой задачи мы воспользуемся законом равных площадей Кеплера. Согласно этому закону, радиус-векторы планеты и Солнца, проведенные из фокуса орбиты планеты, равные площади сектора, заключенного между радиус-векторами, за одинаковые промежутки времени.

Так как задача требует найти день, когда Сатурн находился на угловом расстоянии 90° от Солнца, то это значит, что мы ищем тот момент времени, когда была пройдена четверть орбиты Сатурна.

Орбита Сатурна имеет радиус 9,58 а.е. (а.е. - астрономическая единица). Тогда пройденная четверть орбиты составит \(9,58 \cdot \frac{{\pi}}{{2}}\) а.е.

Теперь мы можем найти время, за которое это расстояние было пройдено. Для этого воспользуемся формулой, связывающей период обращения планеты, радиус орбиты и угловое расстояние:

\[t = \frac{{360}}{{P_r}} \cdot \frac{{d}}{{360}}\]

где \(t\) - время, \(P_r\) - период обращения планеты, \(d\) - угловое расстояние (в градусах).

Подставим известные значения:

\[t = \frac{{360}}{{10759}} \cdot \frac{{9,58 \cdot \pi/2}}{{360}}\]

Вычислим это выражение, чтобы найти время, за которое Сатурн пройдет четверть своей орбиты относительно Солнца. Ответом будет значение времени, выраженное в земных сутках.

Итак, мы можем определить день, когда Сатурн находился на угловом расстоянии 90° от Солнца, используя расчетное время \(t\).