Задание 1. Какова вероятность полного выздоровления у данного больного в больнице, где есть случаи гриппа (20%), ангины

Задание 1.

Чтобы решить данную задачу, мы должны умножить вероятность каждого заболевания на соответствующий процент полного излечения и затем сложить полученные результаты.

Пусть \(A\) - это событие "полное выздоровление", \(B_1\) - событие "заболевание гриппом", \(B_2\) - событие "заболевание ангиной", \(B_3\) - событие "заболевание скарлатиной" и \(B_4\) - событие "заболевание дифтеритом".

Тогда вероятность полного выздоровления можно выразить следующим образом:

\[P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2) + P(A|B_3) \cdot P(B_3) + P(A|B_4) \cdot P(B_4)\]

Для гриппа: \(P(A|B_1) = 0.8\) и \(P(B_1) = 0.2\)
Для ангины: \(P(A|B_2) = 0.95\) и \(P(B_2) = 0.45\)
Для скарлатины: \(P(A|B_3) = 0.65\) и \(P(B_3) = 0.25\)
Для дифтерита: \(P(A|B_4) = 0.75\) и \(P(B_4) = 0.10\)

Подставим данные значения в формулу и решим:

\[P(A) = 0.8 \cdot 0.2 + 0.95 \cdot 0.45 + 0.65 \cdot 0.25 + 0.75 \cdot 0.10\]

\[P(A) = 0.16 + 0.4275 + 0.1625 + 0.075\]

\[P(A) = 0.825\]

Таким образом, вероятность полного выздоровления для данного больного составляет 82.5%.

Задание 2.

Для решения второй задачи нам потребуется использовать условную вероятность. Мы должны найти вероятность того, что больной ранее болел ангиной при условии, что он полностью выздоровел.

Обозначим \(C\) - это событие "больной ранее болел ангиной".

Тогда вероятность \(P(C|A)\), что больной ранее болел ангиной при условии полного выздоровления, можно вычислить с помощью формулы условной вероятности:

\[P(C|A) = \frac{{P(C \cap A)}}{{P(A)}}\]

Мы знаем, что вероятность полного выздоровления \(P(A) = 0.825\). Остается найти \(P(C \cap A)\).

Для этого, нам нужно учесть, что 45% всех случаев выздоровления относится к больным, ранее переболевшим ангиной (\(B_2\)). То есть вероятность события \(C \cap A\) равна произведению вероятности, что больной полностью выздоровел при условии ангины (\(P(A|B_2) = 0.95\)) на вероятность ангины (\(P(B_2) = 0.45\)):

\[P(C \cap A) = P(A|B_2) \cdot P(B_2)\]

\[P(C \cap A) = 0.95 \cdot 0.45\]

\[P(C \cap A) = 0.4275\]

Теперь мы можем рассчитать искомую вероятность:

\[P(C|A) = \frac{{P(C \cap A)}}{{P(A)}}\]

\[P(C|A) = \frac{{0.4275}}{{0.825}}\]

\[P(C|A) \approx 0.518\]

Таким образом, при условии полного выздоровления, вероятность того, что данный больной ранее болел ангиной, составляет примерно 51.8%.