Задание 1. Какова будет итоговая сумма через 5 лет, если начальная сумма вложения составляет 200 тыс. рублей

Задание 1. Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить итоговую сумму через 5 лет для каждого типа ставки процента: простой и сложный.

а) Рассмотрим простую процентную ставку. Формула для ее вычисления следующая:

\[I = P \times r \times t\]

где:
I - сумма процентов,
P - начальная сумма вложения,
r - процентная ставка,
t - количество лет.

Подставив значения из условия, получим:

\[I = 200,000 \times 0.10 \times 5 = 100,000\]

Итак, сумма процентов составит 100,000 рублей. Чтобы получить итоговую сумму, необходимо прибавить эту сумму к начальной сумме вложения:

\[Итоговая\;сумма = Начальная\;сумма + Сумма\;процентов = 200,000 + 100,000 = 300,000\]

Таким образом, итоговая сумма через 5 лет при использовании простой процентной ставки составит 300,000 рублей.

б) Теперь рассмотрим сложную процентную ставку с ежегодной капитализацией процентов. Формулу для ее вычисления можно записать следующим образом:

\[A = P \times (1 + r)^t\]

где:
A - итоговая сумма,
P - начальная сумма вложения,
r - процентная ставка,
t - количество лет.

Подставляя значения из условия, получим:

\[A = 200,000 \times (1 + 0.10)^5 \approx 322,000\]

Итак, итоговая сумма через 5 лет при использовании сложной процентной ставки с ежегодной капитализацией процентов составит около 322,000 рублей.

Задание 2. Для решения этой задачи используем формулу для вычисления времени:

\[t = \frac{{\log(A/P)}}{{\log(1 + r)}}\]

где:
t - время, необходимое для достижения итоговой суммы,
P - начальный капитал,
A - итоговая сумма,
r - процентная ставка.

Подставляя значения из условия, получим:

\[t = \frac{{\log(40,000/25,000)}}{{\log(1 + 0.20)}} \approx 2.54\]

Итак, для достижения итоговой суммы в 40,000 рублей при использовании процентной ставки 20% годовых, потребуется примерно 2.54 года.

Задание 3. Для решения этой задачи используем формулу для сложной процентной ставки с дополнительными взносами:

\[A = P \times (1 + r)^t + D \times \left(\frac{{(1 + r)^t - 1}}{r}\right)\]

где:
A - итоговая сумма,
P - начальный вклад,
r - процентная ставка,
t - количество лет,
D - сумма дополнительного взноса.

Подставляя значения из условия, получим:

\[A = 4,500,000 \times (1 + 0.08)^{0.27} + 2,000,000 \times \left(\frac{{(1 + 0.08)^{0.27} - 1}}{0.08}\right) \approx 4,969,448\]

Итак, вклад до востребования вырастет до примерно 4,969,448 рублей.