Задача 3. Построить иллюстрацию для решения. Прямая a пересекает плоскость β в точке C и образует угол

Задача 3:

Для начала построим иллюстрацию, чтобы было понятнее.

\[
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
\draw (-3,0) -- (3,0) node[anchor=west]{$\beta$};
\draw (0,-3) -- (0,3);
\draw (-2,-2) -- (2,2) node[anchor=south west]{$a$};
\draw[dashed] (-2,-2) -- (0,0) -- (2,0) -- (2,2);
\draw (0,0) -- (-0.5,0) node[anchor=north]{$C$};
\draw (0,0) -- (-0.5,-0.5) node[anchor=north]{$P$};
\draw (-0.5,0) -- (-0.5,-0.5) node[midway, anchor=east]{$R$};
\draw[dashed] (-0.5,-0.5) -- (0,-0.5);
\draw[<->] (0,0) -- (0,-0.5) node[midway, anchor=west]{$10$ см};
\draw[->] (-3.5,0) -- (3.5,0);
\draw[->] (0,-3.5) -- (0,3.5);
\end{tikzpicture}
\]

Теперь приступим к решению.

Мы знаем, что угол между прямой \(a\) и плоскостью \(\beta\) равен 60°. Также, из условия задачи, точка \(R\) является проекцией точки \(P\) на плоскость \(\beta\), а длина отрезка \(PC\) равна 10 см.

Для начала найдем длину отрезка \(PR\). Заметим, что отрезок \(PR\) является высотой треугольника \(\triangle PCR\), поскольку это отрезок, проведенный из вершины прямого угла треугольника \(\triangle PCR\) до основания, параллельного прямой \(a\). Так как мы знаем длину отрезка \(PC\) и угол между \(PC\) и \(PR\) равен 90° (так как \(PR\) -- это высота), то мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины отрезка \(PR\).

Для этого воспользуемся соотношением \(\cos 60° = \frac{{PC}}{{PR}}\). Подставляя известные значения, получаем \(\frac{1}{2} = \frac{{10}}{{PR}}\). Решим эту пропорцию относительно \(PR\):

\[
PR = \frac{{10}}{{\frac{1}{2}}} = 20 \text{ см}
\]

Таким образом, длина отрезка \(PR\) равна 20 см.

Теперь, чтобы найти длину отрезка \(RC\), мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника \(\triangle PCR\), поскольку мы знаем длины сторон \(PR\) и \(PC\). Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае, \(PR\) -- это гипотенуза, а \(PC\) -- катет. Таким образом, у нас имеется следующая формула:

\[
PR^2 = RC^2 + PC^2
\]

Подставляя известные значения, мы получаем:

\[
20^2 = RC^2 + 10^2
\]

\[
400 = RC^2 + 100
\]

Вычитаем 100 из обеих сторон равенства:

\[
300 = RC^2
\]

Извлекаем квадратный корень:

\[
RC = \sqrt{300} \approx 17.32 \text{ см}
\]

Таким образом, длина отрезка \(RC\) равна приближенно 17.32 см.

Ответ: длина отрезка \(RC\) равна приближенно 17.32 см.