Задача 1. Найти точку, которая является симметричной середине отрезка А(3; 1; 8) и В(5; 7; 2) относительно плоскости

Задача 1.
Для решения этой задачи нужно найти середину отрезка AB и затем найти симметричную ей точку относительно плоскости xz.

Шаг 1: Найдем середину отрезка AB.
Для этого сложим координаты точки A и точки B и разделим полученную сумму на 2:
\[
\frac{{(x_A + x_B)}}{2}; \frac{{(y_A + y_B)}}{2}; \frac{{(z_A + z_B)}}{2}
\]
Подставим значения координат точек A(3; 1; 8) и B(5; 7; 2):
\[
\frac{{(3 + 5)}}{2}; \frac{{(1 + 7)}}{2}; \frac{{(8 + 2)}}{2} = 4; 4; 5
\]
Таким образом, середина отрезка АВ имеет координаты (4; 4; 5).

Шаг 2: Найдем симметричную точку C относительно плоскости xz.
Для этого заменим значение координаты y в середине отрезка AB на противоположное значение:
Таким образом, точка C будет иметь координаты (4; -4; 5) и будет являться симметричной серединой отрезка АВ относительно плоскости xz.

Задача 2.
Формула для параллельного переноса точки А(1; 2; 3) в точку В(3; 2,1) задается следующим образом:
\[
B(x; y; z) = A(x + 2; y + 0,1; z - 0,1)
\]
Таким образом, чтобы перенести точку А в точку В, нужно прибавить к каждой координате точки А соответствующее значение разности между координатами точек А и В.

Задача 3.
Для того чтобы точка А(1; 3; 2) переходила в точку В(0; 2; 4) и точка D(2; 2; 2) переходила в точку E(x; y; z) с помощью параллельного переноса, необходимо, чтобы разницы координат точек А и В совпадали с разницами координат точек D и E.

Сравним разницы координат:
x-координата: \(0 - 1 = -1\) и \(x - 2 = -1\)
y-координата: \(2 - 3 = -1\) и \(y - 2 = -1\)
z-координата: \(4 - 2 = 2\) и \(z - 2 = 2\)

Мы видим, что значения разностей координат для каждой оси совпадают, поэтому существует параллельный перенос, при котором точка А(1; 3; 2) переходит в точку В(0; 2; 4), а точка D(2; 2; 2) переходит в точку E(-1; 1; 4).