Задача 1 Какой путь прошла точка за 3 секунды и за 7 секунд, если ее скорость движения задана формулой V(t) = t + 3t^2

Задача 1:
Чтобы найти путь, пройденный точкой за определенное время, нужно проинтегрировать функцию скорости \(V(t)\) по переменной \(t\).

Итак, дана функция скорости:
\[V(t) = t + 3t^2 \, \text{(м/с)}.\]

Для определения пути, пройденного точкой за 3 секунды, мы должны проинтегрировать \(V(t)\) на интервале от 0 до 3:

\[\int_0^3 V(t) \, dt = \int_0^3 (t + 3t^2) \, dt.\]

Выполним интегрирование:
\[\int_0^3 (t + 3t^2) \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} + t^3 \right]_0^3.\]

Вычислим значение верхнего интеграла:
\[\left[\frac{t^2}{2} + t^3 \right]_0^3 = \left(\frac{3^2}{2} + 3^3\right) - \left(\frac{0^2}{2} + 0^3\right).\]

Упрощаем:
\[\left(\frac{9}{2} + 27\right) - (0 + 0) = \frac{9}{2} + 27 = \frac{9 + 54}{2} = \frac{63}{2} = 31.5.\]

Таким образом, за 3 секунды точка проходит путь длиной 31.5 метров.

Теперь взглянем на задачу 2:

Дана функция скорости:
\[ V(t) = 18t - 3t^2 \, \text{(м/с)}.\]

Мы хотим найти путь, пройденный точкой от начала движения до остановки. Чтобы это сделать, нужно вычислить значение интеграла этой функции на интервале от \(0\) до \(t\), где \(t\) - время остановки точки.

\[\int_0^t V(t) \, dt = \int_0^t (18t - 3t^2) \, dt.\]

Проинтегрируем:
\[\int_0^t (18t - 3t^2) \, dt = \left[9t^2 - t^3 \right]_0^t.\]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:
\[\left[9t^2 - t^3 \right]_0^t = \left(9t^2 - t^3 \right) - \left(9(0)^2 - (0)^3\right).\]

Упрощаем:
\[\left(9t^2 - t^3 \right) - (0 - 0) = 9t^2 - t^3.\]

Таким образом, путь, пройденный точкой от начала движения до остановки, определяется выражением \(9t^2 - t^3\) метров.