За який період часу брусок повернеться в свою початкову точку, якщо йому штовхнули вгору по похилій площині під кутом

Для розв"язання даної задачі нам потрібно знати формулу для періоду обертання бруска на похилій площині без тертя. Така формула існує і вона базується на законі збереження механічної енергії.

Давайте спочатку визначимо, що механічна енергія системи зберігається, оскільки відсутнє тертя. Механічна енергія складається з кінетичної і потенціальної енергії.

Кінетична енергія об"єкта на похилій площині визначається за формулою:

\[E_k = \frac{1}{2} m v^2\]

де \(E_k\) - кінетична енергія, \(m\) - маса бруска, \(v\) - швидкість бруска.

Потенціальна енергія об"єкта на похилій площині визначається за формулою:

\[E_p = m g h\]

де \(E_p\) - потенціальна енергія, \(m\) - маса бруска, \(g\) - прискорення вільного падіння (приблизно 9.8 м/с^2), \(h\) - висота на яку піднявся брусок.

Запишемо рівняння збереження механічної енергії:

\[E_k + E_p = \text{const}\]

На початку руху об"єкт має лише кінетичну енергію:

\[\frac{1}{2} m v^2 + 0 = \frac{1}{2} m (15 \, \text{м/с})^2\]

Після повороту на похилій площині об"єкт приходить до певної висоти, на яку підніметься, і втрачає кінетичну енергію, перетворюючи її на потенціальну:

\[0 + m g h = \frac{1}{2} m (15 \, \text{м/с})^2\]

Тут \(m\) знікає з обох частин рівняння, що означає, що воно не впливає на результат. Допустимо, що \(m = 1\) (це дозволить нам обчислити висоту):

\[9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot h = \frac{1}{2} (15 \, \text{м/с})^2\]

Знайдемо \(h\):

\[h = \frac{\frac{1}{2} (15 \, \text{м/с})^2}{9.8 \, \text{м/с}^2}\]

Поділимо числові значення:

\[h = \frac{1}{2} \cdot \frac{15^2}{9.8} \approx 11.47 \, \text{м}\]

Тепер, коли в нас є висота, ми можемо обчислити час, необхідний для повного оберту бруска, використовуючи формулу:

\[T = 2 \pi \sqrt{\frac{h}{g}}\]

Підставимо значення:

\[T = 2 \pi \sqrt{\frac{11.47 \, \text{м}}{9.8 \, \text{м/с}^2}}\]

Знайдемо \(T\):

\[T = 2 \pi \sqrt{1.17} \approx 7.33 \, \text{с}\]

Отже, брусок повернеться в свою початкову точку за 7.33 секунди.