Яку площу утворює переріз площиною, що перетинає основу конуса під кутом фі до його висоти, якщо радіус основи конуса

Щоб знайти площу перерізу, спочатку врахуємо, що площина, якою перетинається конус, утворює трикутник з основою конуса і двома відрізками – радіусом основи і твірною. Спочатку знайдемо значення цих відрізків.

Відрізок, який є радіусом основи конуса, має довжину r.

Твірна може бути знайдена за допомогою тригонометричних співвідношень в прямокутному трикутнику, утвореному твірною, радіусом і поперечиною основи конуса. Ми знаємо, що твірна нахилена до площини основи під кутом альфа, а через вершину конуса проведено площину під кутом фі. Тому ми можемо застосувати тригонометричне співвідношення тангенсу:

\(\tan(\alpha) = \frac{\text{протилежна сторона}}{\text{прилегла сторона}}\)

В цьому випадку протилежна сторона – це твірна, а прилегла – це радіус основи конуса. Отже,

\(\tan(\alpha) = \frac{\text{твірна}}{r}\)

Щоб знайти значення твірної, помножимо обидві частини рівняння на r:

\(\text{твірна} = r \cdot \tan(\alpha)\)

Тепер, щоб знайти площу перерізу, ми можемо використати формулу для площі трикутника:

\(\text{площа} = \frac{1}{2} \cdot \text{основа} \cdot \text{висота}\)

У нашому випадку, основа – це радіус основи конуса, а висота – це твірна. Тому площа перерізу буде:

\(\text{площа} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot \text{твірна}\)

Підставляючи значення твірної, отримуємо:

\(\text{площа} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot (r \cdot \tan(\alpha))\)

Тепер, коли ви маєте дані для обчислення, давайте підставимо їх в формулу:

\[
\text{площа} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot (\sqrt{6} \cdot \tan(30))
\]

\[
\text{площа} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot (\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3})
\]

\[
\text{площа} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{6\sqrt{3}}{3}
\]

\[
\text{площа} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{3}
\]

\[
\text{площа} = 3 \sqrt{3}
\]

Таким чином, площа перерізу конуса дорівнює \(3 \sqrt{3}\).