Яку масу потрібно підвісити новим вантажем замість першого, щоб частота коливань зменшилася вдвічі?

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Чтобы ответить на вопрос о том, какую массу нужно подвесить на место первого груза, чтобы частота колебаний уменьшилась вдвое, мы можем использовать формулу для периода колебаний:

\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

где \( T \) - период колебаний, \( m \) - масса груза, а \( k \) - жесткость подвеса.

Чтобы частота колебаний уменьшилась вдвое, период колебаний должен увеличиться вдвое. Мы знаем, что период и частота колебаний связаны следующим образом:

\[ T = \frac{1}{f} \]

где \( f \) - частота колебаний. Таким образом, удвоение периода эквивалентно уменьшению частоты вдвое.

Исходя из этого, мы можем записать следующее:

\[ \frac{T_{\text{новый}}}{T_{\text{старый}}} = \frac{f_{\text{старый}}}{f_{\text{новый}}} = \frac{1}{2} \]

Подставим значение частоты колебаний в формулу периода:

\[ \frac{2 \pi \sqrt{\frac{m_{\text{новый}}}{k}}}{2 \pi \sqrt{\frac{m_{\text{старый}}}{k}}} = \frac{1}{2} \]

Упростим выражение, сократив \( \pi \) и \( k \):

\[ \sqrt{\frac{m_{\text{новый}}}{m_{\text{старый}}}} = \frac{1}{2} \]

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат:

\[ \frac{m_{\text{новый}}}{m_{\text{старый}}} = \frac{1}{4} \]

Теперь умножим обе части уравнения на массу предыдущего груза \( m_{\text{старый}} \):

\[ m_{\text{новый}} = \frac{m_{\text{старый}}}{4} \]

Итак, чтобы частота колебаний уменьшилась вдвое, нужно подвесить груз, масса которого составляет четверть массы первого груза.