Яку кількість розпадів сталося у радіоактивному препараті протягом 5 хв, якщо його активність дорівнює 600 млрд?

Для решения данной задачи мы будем использовать формулу, связывающую активность радиоактивного вещества с его периодом полураспада.

Период полураспада (обозначим его как \(T\)) - это время, за которое активность вещества уменьшается в два раза. Оно является постоянным для каждого радиоактивного вещества и указывается в задаче или предоставляется отдельно.

Дано, что активность препарата равна 600 миллиардам (600 млрд), и мы хотим найти количество распадов за 5 минут. Для начала нам необходимо найти активность препарата на начальный момент времени, чтобы использовать её для решения задачи.

Известно, что период полураспада препарата составляет \(T\) минут, и активность препарата равна 600 миллиардам (600 млрд). Пусть \(A_0\) - это активность препарата на начальный момент времени.

Запишем формулу, связывающую активность препарата на начальный момент времени с активностью препарата после прошествия определенного времени:

\[A(t) = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}\]

где \(A(t)\) - активность препарата после прошествия времени \(t\).

Мы знаем, что активность препарата равна 600 миллиардам (600 млрд) и хотим найти количество распадов за 5 минут. Поэтому, в данной задаче \(t = 5\) минут и \(A(t) = 600\) миллиардов.

Теперь нам нужно найти \(A_0\), чтобы подставить его в формулу и найти количество распадов за 5 минут.

Для этого мы решаем уравнение по \(A_0\):

\[600 = A_0 \cdot 2^{-\frac{5}{T}}\]

Переносим 2 в степень на другую сторону:

\[2^{-\frac{5}{T}} = \frac{600}{A_0}\]

Возводим обе стороны уравнения в -1 степень:

\[\left(2^{-\frac{5}{T}}\right)^{-1} = \left(\frac{600}{A_0}\right)^{-1}\]

Упрощаем выражение:

\[2^{\frac{5}{T}} = \frac{A_0}{600}\]

Берем логарифм обеих сторон уравнения:

\[\log_2\left(2^{\frac{5}{T}}\right) = \log_2\left(\frac{A_0}{600}\right)\]

По свойству логарифма \(\log_b(b^x) = x\), упрощаем выражение:

\[\frac{5}{T} = \log_2\left(\frac{A_0}{600}\right)\]

Теперь найдем активность препарата на начальный момент времени \(A_0\):

\[A_0 = 600 \cdot 2^{\frac{5}{T}}\]

Подставляем данное значение \(A_0\) обратно в исходную формулу:

\[A(t) = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}\]

Теперь у нас есть формула для анализа активности препарата после прошествия времени \(t\). Для нахождения количества распадов за 5 минут мы должны подставить \(A(t) = 600\), \(t = 5\) и рассчитать значение:

\[600 = A_0 \cdot 2^{-\frac{5}{T}}\]

Подставляем выражение для \(A_0\):

\[600 = 600 \cdot 2^{\frac{5}{T}} \cdot 2^{-\frac{5}{T}}\]

Упрощаем выражение:

\[600 = 600\]

Это означает, что количество распадов за 5 минут равно исходной активности препарата, которая составляет 600 миллиардов.

Таким образом, в данной задаче количество распадов равно 600.