Яку довжину мають дуги АВ, ВС і АС, якщо навколо рівностороннього трикутника АВС зі стороною 6 см описано коло?

Для решения этой задачи нам понадобится знать некоторые свойства равностороннего треугольника и описанной окружности.

В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, поэтому сторона АВ, сторона ВС и сторона АС равны 6 см.

Теперь обратимся к свойствам описанной окружности. Описанная окружность равностороннего треугольника проходит через все его вершины. Радиус этой окружности является расстоянием от центра окружности до любой вершины треугольника.

Для нашего равностороннего треугольника АВС, радиус описанной окружности будет равен одной из высот треугольника. Для удобства обозначим радиус как R.

Существует формула, связывающая радиус описанной окружности и длину стороны треугольника:
\[R = \frac{a}{\sqrt{3}}\]
где а - длина стороны треугольника.

Подставим значение стороны треугольника, которое у нас равно 6 см, в эту формулу:
\[R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3.46\]

Теперь у нас есть радиус описанной окружности. Чтобы найти длину дуги АВ, ВС и АС, мы должны узнать, насколько процентов весь окружность составляет каждая из этих дуг.

Одна шестая часть окружности, образованная одной стороной треугольника АВС, является дугой АВ или дугой ВС. Чтобы найти длину дуги, нам нужно умножить процент дуги на окружность:

Длина дуги \(l = \frac{n}{100} \times 2\pi R\)
где n - процент от всей окружности, соответствующей дуге.

Так как у нас равносторонний треугольник, дуги АВ и ВС равны. Найдем процент, соответствующий дуге АВ:
\(\frac{n}{100} = \frac{1}{6} = \frac{4}{24}\)

Теперь подставим значение в формулу и найдем длину дуги АВ:
\(l_{AB} = \frac{4}{24} \times 2\pi \times 2\sqrt{3} = \frac{8\pi\sqrt{3}}{24} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{6}\)

Точно так же узнаем длину дуги ВС:
\(l_{BC} = \frac{4}{24} \times 2\pi \times 2\sqrt{3} = \frac{8\pi\sqrt{3}}{24} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{6}\)

Остается найти длину дуги АС. Поскольку она является остатком от всей окружности (100%) минус две дуги АВ и ВС, мы можем вычислить ее:

\(n_{AC} = 100 - 2 \times \frac{4}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}\)

Теперь подставим значение в формулу и найдем длину дуги АС:
\(l_{AC} = \frac{2}{3} \times 2\pi \times 2\sqrt{3} = \frac{4\pi\sqrt{3}}{3}\)

Таким образом, длина дуги АВ, длина дуги ВС и длина дуги АС равны соответственно \(\frac{2\pi\sqrt{3}}{6}\), \(\frac{2\pi\sqrt{3}}{6}\) и \(\frac{4\pi\sqrt{3}}{3}\)