Яку довжину має більша основа трапеції, якщо коло, вписане в рівнобічну трапецію, ділить бічну сторону на сегменти

Давайте разберемся с этой задачей.

Мы знаем, что коло вписано в равнобедренную трапецию. Представим данную трапецию следующим образом:

\[
\begin{array}{c}
A_________B \\
/ \ / \\
/ \ / \\
/ \ / \\
D___________C
\end{array}
\]

Пусть точка \(M\) - середина боковой стороны \(AB\). Тогда из условия задачи мы знаем, что \(AM = 8\) см, а \(MC = 50\) см. Так как \(\triangle AMC\) - равнобедренный, то угол \(M\) равен углу \(C\).

Для решения задачи нам понадобится знание некоторых свойств треугольников, вписанных в окружность. Одно из таких свойств состоит в том, что внутренние углы треугольника, образованные хордами, являются половинными углами, образованными дугами этих хорд.

Применим это свойство к треугольнику \(AMC\). Угол \(C\) равен половине угла между хордами \(AC\) и \(AM\), а угол между хордами - это угол \(A\), который также является углом трапеции. Обозначим этот угол как \(\alpha\).

Теперь перейдем к решению задачи. Для начала найдем угол \(C\):

\[
\alpha = C = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ
\]

Таким образом, мы получили, что угол \(C\) равен \(90^\circ\). Нам известно, что сумма углов трапеции равна \(360^\circ\). Пусть угол \(A\) равен \(x\). Тогда углы \(B\) и \(D\) также равны \(x\), а угол \(C\) равен \(90^\circ\). Из этого получаем уравнение:

\[
90^\circ + x + x + x = 360^\circ
\]

Решим его:

\[
3x + 90^\circ = 360^\circ \implies 3x = 360^\circ - 90^\circ \implies 3x = 270^\circ \implies x = \frac{270^\circ}{3} = 90^\circ
\]

Таким образом, мы получили, что угол \(A\) равен \(90^\circ\), а значит, данный четырёхугольник является прямоугольной трапецией.

Теперь найдем длину большей основы трапеции. Обозначим ее как \(BC\). В прямоугольной трапеции длина боковой стороны равна полусумме длин оснований.

Длина меньшей основы \(AD\) равна \(8\) см, а длина боковой стороны \(DC\) равна \(50\) см.

Таким образом, длина большей основы \(BC\) равна:

\[
BC = 2 \cdot DC - AD = 2 \cdot 50\, \text{см} - 8\, \text{см} = 92\, \text{см}
\]

Чтобы перевести ответ в метры, нужно разделить длину большей основы на \(100\) (1 метр = \(100\) сантиметров):

\[
BC_{\text{в метрах}} = \frac{BC_{\text{в сантиметрах}}}{100} = \frac{92}{100} = 0.92\, \text{м}
\]

Таким образом, длина большей основы трапеции равна \(0.92\) метра.