Якщо у рівнобедреного трикутника АВС проведено дотичну, яка перетинає бічні сторони АВ і БС у точках Р і К відповідно

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Для начала, давайте обозначим стороны треугольника АВС. Пусть сторона АВ имеет длину а, а сторона АС имеет длину b. Так как треугольник АВС является равнобедренным, то сторона ВС также имеет длину b.

2. Согласно условию задачи, проведена дотичная, которая пересекает боковые стороны АВ и BC в точках Р и К соответственно. Давайте обозначим отрезки РВ и КС как х и у, соответственно.

3. Так как треугольник АВС является равнобедренным, это означает, что длина стороны АС равна длине стороны ВС. Поэтому, мы можем записать уравнение:
a + 2х + b + 2y = 8 (уравнение периметра треугольника БРК)

4. Также у нас есть еще одно важное свойство равнобедренного треугольника — равенство углов при основании. Это значит, что треугольники АРВ и КВС подобны. Из подобия этих треугольников мы можем записать отношение длин сторон:
\(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\)

5. Теперь нам нужно выразить одну переменную через другую, чтобы у нас было одно уравнение с одной переменной. Мы можем сделать это, решив уравнение из предыдущего шага относительно x или y. Давайте выразим x через y:
x = \(\frac{ay}{b}\)

6. Теперь, подставляя это значение x в уравнение периметра, мы получим:
a + 2\(\frac{ay}{b}\) + b + 2y = 8

7. Далее, давайте упростим это уравнение и приведем его к квадратному виду. Умножим каждый член уравнения на b, чтобы избавиться от знаменателя:
ab + 2ay + b^2 + 2by = 8b

8. Перенесем все члены уравнения влево и приведем подобные слагаемые:
b^2 + (a + 2b)y + (ab - 8b) = 0

9. У нас получилось квадратное уравнение, которое можно решить относительно y. Приведем его к стандартному виду:
y^2 + (a + 2b)y + (ab - 8b) = 0

10. Зная коэффициенты квадратного уравнения, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы найти его корни. Формула дискриминанта выглядит следующим образом:
D = (a + 2b)^2 - 4(ab - 8b)

11. Вычислим значение дискриминанта и проверим его значение. Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один корень. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

12. Разберем три случая в зависимости от значения дискриминанта:
- Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня y1 и y2. Мы можем выбрать значение y1 или y2 и подставить его в уравнение для нахождения соответствующего значения x.
- Если D = 0, то уравнение имеет один корень y. Мы можем подставить его в уравнение для нахождения соответствующего значения x.
- Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что задача не имеет решения, и боковая сторона треугольника АВС не может быть определена.

Таким образом, чтобы найти длину боковой стороны треугольника АВС, нам необходимо решить квадратное уравнение путем вычисления дискриминанта и определения его корней. После нахождения корней мы можем применить полученные значения в уравнение для определения соответствующей длины стороны треугольника.