Якою є відстань між точкою а (3; 2; 4) та площиною?

Чтобы найти расстояние между точкой и плоскостью, мы можем использовать формулу, которая основана на проекциях. Для этого нам понадобятся уравнение плоскости и координаты точки.

Уравнение плоскости может быть записано в виде \(Ax + By + Cz + D = 0\), где \(A, B, C\) и \(D\) являются коэффициентами плоскости.

Итак, пусть дана плоскость с уравнением \(2x - y + 3z - 6 = 0\) и точка А с координатами (3, 2, 4).

Шаг 1: Найдем нормальный вектор плоскости:
Для этого возьмем коэффициенты \(A, B\) и \(C\) из уравнения плоскости и создадим вектор \(\vec{N}\) с этими значениями:
\(\vec{N} = (A, B, C) = (2, -1, 3)\)

Шаг 2: Найдем вектор, идущий от точки А до плоскости:
\(\vec{AP}\), где \(\vec{P}\) - любая точка на плоскости.
\(\vec{AP}\) = \((x_p - x_a, y_p - y_a, z_p - z_a) = (x_p - 3, y_p - 2, z_p - 4)\)

Шаг 3: Перпендикулярная составляющая расстояния:
Найдем проекцию вектора \(\vec{AP}\) на нормальный вектор плоскости. Для этого используем формулу:
\(\text{Перпендикулярная составляющая } d = \frac{{|\vec{AP} \cdot \vec{N}|}}{{|\vec{N}|}}\)

Вычисляем:
\(\vec{AP} \cdot \vec{N} = (x_p - 3, y_p - 2, z_p - 4) \cdot (2, -1, 3) = 2(x_p - 3) - (y_p - 2) + 3(z_p - 4)\)
\(= 2x_p - 6 - y_p + 2 + 3z_p - 12 = 2x_p - y_p + 3z_p - 16\)

\(|\vec{N}| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}\)

Подставляем значения:
\(d = \frac{{|2x_p - y_p + 3z_p - 16|}}{{\sqrt{14}}}\)

Таким образом, расстояние между точкой А и плоскостью равно \(d = \frac{{|2x_p - y_p + 3z_p - 16|}}{{\sqrt{14}}}\), где \((x_p, y_p, z_p)\) - координаты произвольной точки \(\vec{P}\) на плоскости.

Пожалуйста, учтите, что эта формула применима только в случае, если плоскость задана уравнением вида \(Ax + By + Cz + D = 0\). Если у вас есть другое уравнение плоскости, пожалуйста, предоставьте его, чтобы мы могли помочь вам с более точным решением.