Якою є площа прямокутника, якщо перпендикуляр, проведений з вершини прямокутника на його діагональ, має довжину 12 і розбиває діагональ на два відрізки, різниця між якими становить 7?
Морской_Цветок
напишите максимально подробный ответ, с обоснованием или пояснением ответа или пошаговым решением, чтобы ответ был понятен школьнику.
Давайте разберем эту задачу пошагово.
Шаг 1: Визначення проблеми
Задача просить нас знайти площу прямокутника, в якому перпендикуляр, опущений из вершины прямокутника на его діагональ, має довжину 12 і розбиває діагональ на два відрізки, різниця між якими становить якусь величину.
Шаг 2: Изучение основных понятий
Перед тем, как мы начнем решение задачи, давайте вспомним несколько основных понятий. Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые. Диагональ - это отрезок, который соединяет две противоположные вершины прямоугольника. Перпендикуляр - это отрезок, который образует прямой угол с другим отрезком.
Шаг 3: Решение задачи
В данной задаче у нас есть прямоугольник, диагональ которого разбивается перпендикуляром на два отрезка с разными длинами. Давайте обозначим эти отрезки как \(x\) и \(y\). Также известно, что длина перпендикуляра равна 12.
Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины диагонали прямоугольника. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) выполняется следующее соотношение:
\[c^2 = a^2 + b^2\]
В нашем случае, гипотенуза равна длине диагонали, которую мы обозначим как \(d\), а катетами будут отрезки \(x\) и \(y\):
\[d^2 = x^2 + y^2\]
Теперь введем новую переменную для разности длин отрезков \(x\) и \(y\), обозначим ее как \(k\):
\[k = |x - y|\]
Мы знаем, что разность между отрезками \(x\) и \(y\) равна \(k\), поэтому можем записать следующее соотношение:
\[|x - y| = k\]
Шаг 4: Нахождение площади прямоугольника
Из наших уравнений выше, мы имеем систему уравнений, состоящую из трех уравнений:
\[
\begin{align*}
d^2 &= x^2 + y^2 \quad \text{(1)} \\
|x - y| &= k \quad \text{(2)} \\
d &= 12 \quad \text{(3)}
\end{align*}
\]
Мы можем использовать эти уравнения для нахождения площади прямоугольника.
Шаг 5: Решение системы уравнений
Подставим значение \(d = 12\) из уравнения (3) в уравнение (1):
\[12^2 = x^2 + y^2\]
Решением этого уравнения будет пара значений, одно из которых будет соответствовать \(x\), а другое - \(y\). Отметим, что эти значения могут быть как положительными, так и отрицательными в зависимости от соотношений между \(x\) и \(y\).
Шаг 6: Вычисление площади прямоугольника
Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно умножить длину одной его стороны на длину другой стороны. В нашем случае, пусть \(a\) будет длина одной стороны прямоугольника, а \(b\) - длина другой стороны.
Вспомним, что диагональ прямоугольника разбивается перпендикуляром на два равных треугольника, и эти треугольники являются прямоугольными. Площадь прямоугольника в таком случае равна удвоенной площади одного из этих треугольников.
Площадь треугольника можно найти по его основанию и высоте, поэтому нам необходимо найти основание и высоту треугольника. Основание треугольника - это отрезок \(a\), а высота - это отрезок, опущенный из вершины треугольника на его основание.
В нашем случае, мы знаем, что длина перпендикуляра равна 12, поэтому высота треугольника будет равна 12. Теперь нам нужно найти основание треугольника.
Шаг 7: Вычисление основания треугольника
Мы знаем, что перпендикуляр делит диагональ на два отрезка \(x\) и \(y\), а их разность равна \(k\). Из уравнения (2) мы знаем, что \(|x - y| = k\).
Разобьем эту разность на два случая: \(x > y\) и \(x < y\).
Случай 1: \(x > y\)
Если \(x > y\), то \(x = y + k\). Подставим это выражение в уравнение (1):
\[12^2 = (y + k)^2 + y^2\]
Разложим это уравнение:
\[144 = y^2 + 2yk + k^2 + y^2\]
\[144 = 2y^2 + 2yk + k^2\]
Выразим \(y\) через \(k\):
\[144 - k^2 = 2y(y + k)\]
\[72 - \frac{k^2}{2} = y(y + k)\]
Теперь мы можем найти значение \(y\) и, соответственно, значение \(x = y + k\).
Случай 2: \(x < y\)
Если \(x < y\), то \(y = x + k\). Подставим это выражение в уравнение (1):
\[12^2 = x^2 + (x + k)^2\]
Разложим это уравнение:
\[144 = x^2 + 2xk + k^2 + x^2\]
\[144 = 2x^2 + 2xk + k^2\]
Выразим \(x\) через \(k\):
\[144 - k^2 = 2x(x + k)\]
\[72 - \frac{k^2}{2} = x(x + k)\]
Теперь мы можем найти значение \(x\) и, соответственно, значение \(y = x + k\).
Шаг 8: Вычисление площади прямоугольника
Теперь, когда у нас есть значения \(x\) и \(y\), мы можем найти площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника равна:
\[S = x \cdot y\]
Подставим найденные значения \(x\) и \(y\):
\[S = (x + k) \cdot (y + k)\]
Шаг 9: Итоговый ответ
Мы вычислили площадь прямоугольника, используя данные из задачи и систему уравнений:
\[
\begin{align*}
d^2 &= x^2 + y^2 \quad \text{(1)} \\
|x - y| &= k \quad \text{(2)} \\
d &= 12 \quad \text{(3)}
\end{align*}
\]
При решении системы уравнений мы получили значения \(x\) и \(y\). Подставив эти значения в выражение для площади прямоугольника, мы можем получить итоговый ответ. Например, если \(x = 5\) и \(y = 9\), то площадь прямоугольника будет равна:
\[S = (5 + k) \cdot (9 + k)\]
Давайте разберем эту задачу пошагово.
Шаг 1: Визначення проблеми
Задача просить нас знайти площу прямокутника, в якому перпендикуляр, опущений из вершины прямокутника на его діагональ, має довжину 12 і розбиває діагональ на два відрізки, різниця між якими становить якусь величину.
Шаг 2: Изучение основных понятий
Перед тем, как мы начнем решение задачи, давайте вспомним несколько основных понятий. Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые. Диагональ - это отрезок, который соединяет две противоположные вершины прямоугольника. Перпендикуляр - это отрезок, который образует прямой угол с другим отрезком.
Шаг 3: Решение задачи
В данной задаче у нас есть прямоугольник, диагональ которого разбивается перпендикуляром на два отрезка с разными длинами. Давайте обозначим эти отрезки как \(x\) и \(y\). Также известно, что длина перпендикуляра равна 12.
Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины диагонали прямоугольника. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) выполняется следующее соотношение:
\[c^2 = a^2 + b^2\]
В нашем случае, гипотенуза равна длине диагонали, которую мы обозначим как \(d\), а катетами будут отрезки \(x\) и \(y\):
\[d^2 = x^2 + y^2\]
Теперь введем новую переменную для разности длин отрезков \(x\) и \(y\), обозначим ее как \(k\):
\[k = |x - y|\]
Мы знаем, что разность между отрезками \(x\) и \(y\) равна \(k\), поэтому можем записать следующее соотношение:
\[|x - y| = k\]
Шаг 4: Нахождение площади прямоугольника
Из наших уравнений выше, мы имеем систему уравнений, состоящую из трех уравнений:
\[
\begin{align*}
d^2 &= x^2 + y^2 \quad \text{(1)} \\
|x - y| &= k \quad \text{(2)} \\
d &= 12 \quad \text{(3)}
\end{align*}
\]
Мы можем использовать эти уравнения для нахождения площади прямоугольника.
Шаг 5: Решение системы уравнений
Подставим значение \(d = 12\) из уравнения (3) в уравнение (1):
\[12^2 = x^2 + y^2\]
Решением этого уравнения будет пара значений, одно из которых будет соответствовать \(x\), а другое - \(y\). Отметим, что эти значения могут быть как положительными, так и отрицательными в зависимости от соотношений между \(x\) и \(y\).
Шаг 6: Вычисление площади прямоугольника
Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно умножить длину одной его стороны на длину другой стороны. В нашем случае, пусть \(a\) будет длина одной стороны прямоугольника, а \(b\) - длина другой стороны.
Вспомним, что диагональ прямоугольника разбивается перпендикуляром на два равных треугольника, и эти треугольники являются прямоугольными. Площадь прямоугольника в таком случае равна удвоенной площади одного из этих треугольников.
Площадь треугольника можно найти по его основанию и высоте, поэтому нам необходимо найти основание и высоту треугольника. Основание треугольника - это отрезок \(a\), а высота - это отрезок, опущенный из вершины треугольника на его основание.
В нашем случае, мы знаем, что длина перпендикуляра равна 12, поэтому высота треугольника будет равна 12. Теперь нам нужно найти основание треугольника.
Шаг 7: Вычисление основания треугольника
Мы знаем, что перпендикуляр делит диагональ на два отрезка \(x\) и \(y\), а их разность равна \(k\). Из уравнения (2) мы знаем, что \(|x - y| = k\).
Разобьем эту разность на два случая: \(x > y\) и \(x < y\).
Случай 1: \(x > y\)
Если \(x > y\), то \(x = y + k\). Подставим это выражение в уравнение (1):
\[12^2 = (y + k)^2 + y^2\]
Разложим это уравнение:
\[144 = y^2 + 2yk + k^2 + y^2\]
\[144 = 2y^2 + 2yk + k^2\]
Выразим \(y\) через \(k\):
\[144 - k^2 = 2y(y + k)\]
\[72 - \frac{k^2}{2} = y(y + k)\]
Теперь мы можем найти значение \(y\) и, соответственно, значение \(x = y + k\).
Случай 2: \(x < y\)
Если \(x < y\), то \(y = x + k\). Подставим это выражение в уравнение (1):
\[12^2 = x^2 + (x + k)^2\]
Разложим это уравнение:
\[144 = x^2 + 2xk + k^2 + x^2\]
\[144 = 2x^2 + 2xk + k^2\]
Выразим \(x\) через \(k\):
\[144 - k^2 = 2x(x + k)\]
\[72 - \frac{k^2}{2} = x(x + k)\]
Теперь мы можем найти значение \(x\) и, соответственно, значение \(y = x + k\).
Шаг 8: Вычисление площади прямоугольника
Теперь, когда у нас есть значения \(x\) и \(y\), мы можем найти площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника равна:
\[S = x \cdot y\]
Подставим найденные значения \(x\) и \(y\):
\[S = (x + k) \cdot (y + k)\]
Шаг 9: Итоговый ответ
Мы вычислили площадь прямоугольника, используя данные из задачи и систему уравнений:
\[
\begin{align*}
d^2 &= x^2 + y^2 \quad \text{(1)} \\
|x - y| &= k \quad \text{(2)} \\
d &= 12 \quad \text{(3)}
\end{align*}
\]
При решении системы уравнений мы получили значения \(x\) и \(y\). Подставив эти значения в выражение для площади прямоугольника, мы можем получить итоговый ответ. Например, если \(x = 5\) и \(y = 9\), то площадь прямоугольника будет равна:
\[S = (5 + k) \cdot (9 + k)\]
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
