Якому значенню потрібно рівнятися перша космічна швидкість для Марсу, якщо його маса становить 0,107 від маси Землі

Для розв"язання цієї задачі, нам потрібно використати закон всесвітнього тяжіння Ньютона. Згідно з цим законом, сила тяжіння між двома тілами залежить від їхніх мас і відстані між ними. Формула для обчислення сили тяжіння між двома тілами має вигляд:

\[F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

де:

\(F\) - сила тяжіння,
\(G\) - гравітаційна постійна (\(6,67430 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\)),
\(m_1\) - маса одного з тіл,
\(m_2\) - маса другого тіла,
\(r\) - відстань між цими тілами.

В даній задачі нам потрібно знайти значення швидкості, тому спершу використаємо другий закон Ньютона: \(F = m \cdot a\). Так як відомо, що \(a = \frac{{v^2}}{{r}}\) (це закон зв"язку радіуса орбіти зі швидкістю руху тіла на цій орбіті), потрібно підставити це значення в формулу для сили тяжіння:

\[m \cdot \frac{{v^2}}{{r}} = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Підставляємо відомі значення з тексту задачі:

\[m \cdot \frac{{v^2}}{{r}} = G \cdot \frac{{m_{\text{Mars}} \cdot m_{\text{Earth}}}}{{r^2}}\]

Заміняємо \(m_{\text{Mars}}\) на \(0,107\) маси Землі і \(r\) на \(0,531\) земного радіуса:

\[m \cdot \frac{{v^2}}{{0,531 \cdot r}} = G \cdot \frac{{0,107 \cdot m_{\text{Earth}} \cdot m_{\text{Earth}}}}{{(0,531 \cdot r)^2}}\]

Тепер скорочуємо \(m_{\text{Earth}}\) з обох боків рівняння:

\[m \cdot \frac{{v^2}}{{0,531 \cdot r}} = G \cdot \frac{{0,107 \cdot m_{\text{Earth}}^2}}{{(0,531 \cdot r)^2}}\]

Можемо зараз скоротити на \(0,531\) з обох боків рівняння:

\[m \cdot \frac{{v^2}}{{r}} = G \cdot \frac{{0,107 \cdot m_{\text{Earth}}}}{{0,531 \cdot r}}\]

Далі замінюємо \(m_{\text{Earth}}\) на \(m\) і переносимо \(v^2\) на інший бік рівняння:

\[v^2 = \frac{{G \cdot 0,107 \cdot m}}{{r}}\]

Обчисляємо праву частину рівняння, підставляючи відповідні значення:

\[v^2 = \frac{{6,67430 \times 10^{-11} \cdot 0,107 \cdot m}}{{r}}\]

Тепер, щоб отримати значення швидкості \(v\), візьмемо квадратний корінь з обох боків:

\[v = \sqrt{\frac{{6,67430 \times 10^{-11} \cdot 0,107 \cdot m}}{{r}}}\]

Ми отримали вираз для швидкості відносно Марсу в залежності від маси тіла \(m\) та радіуса орбіти \(r\). Тепер, підставивши відповідні значення \(m\) та \(r\), ми зможемо обчислити шукану швидкість.