Якого періоду коливань маятника складається з важкої кульки масою 100г, яка підвішена на нитці завдовжки 50см? Яка енергія у маятника, якщо його найбільший кут відхилення від положення рівноваги становить 15 градусів?
Yastreb
Для розв"язання цієї задачі ми можемо скористатися формулою для періоду коливання математичного маятника і законом збереження енергії.
Почнемо з визначення періоду коливань маятника. Формула для періоду коливання \(T\) математичного маятника має вигляд:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\]
де \(l\) - довжина нитки маятника, \(g\) - прискорення вільного падіння (приблизно 9.8 м/с²).
У нашому випадку, довжина нитки \(l\) становить 50 см, що дорівнює 0.5 метра. Підставимо ці значення у формулу і розрахуємо період коливання:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{0.5}{9.8}}\]
Значення прискорення вільного падіння \(g\) можна округлити до 9.8, або використовувати більш точне значення, наприклад, 9.81. Округлимо його до 9.8 для простоти розрахунку.
\[T ≈ 2\pi\sqrt{\frac{0.5}{9.8}}\]
Приблизно розрахунувавши, отримаємо:
\[T ≈ 2\pi\sqrt{0.051}\]
\[T ≈ 2\pi \cdot 0.226\]
\[T ≈ 1.424 \text{ секунди}\]
Отже, період коливання маятника складає близько 1.424 секунди.
Тепер перейдемо до обчислення енергії маятника. За законом збереження енергії, енергія маятника залежить від його потенційної та кінетичної енергії.
Максимальна потенційна енергія \(E_p\) маятника співпадає з його максимальною кінетичною енергією \(E_k\) у положенні рівноваги. Формули для обчислення цих енергій мають вигляд:
\[E_p = mgh\]
\[E_k = \frac{1}{2}mv^2\]
де \(m\) - маса маятника, \(g\) - прискорення вільного падіння, \(h\) - висота підйому маятника, \(v\) - швидкість маятника.
У нашому випадку, маса маятника \(m\) дорівнює 100 г, що при розрахунках необхідно перевести у кілограми, тобто 0.1 кг. Також, нам відомий найбільший кут відхилення маятника від положення рівноваги, який становить 15 градусів.
Для обчислення енергії маятника, спочатку визначимо висоту підйому маятника \(h\), що можна зробити за допомогою геометричного підходу. Висота підйому дорівнює розкладеній по висоті нитки частині відстані між початковим положенням маятника і його найбільш відхиленою позицією.
\[h = l(1 - \cos\theta)\]
де \(l\) - довжина нитки, \(\theta\) - кут відхилення маятника від положення рівноваги (у радіанах).
Підставимо значення довжини нитки \(l = 0.5\) метра і кута відхилення \(\theta = 15\) градусів (перейшовши до радіанів \(\theta = \frac{\pi}{12}\)) у формулу і визначимо висоту підйому:
\[h = 0.5(1 - \cos\frac{\pi}{12})\]
\[h ≈ 0.5(1 - 0.978)\]
\[h ≈ 0.5(0.022)\]
\[h ≈ 0.011 \text{ метра}\]
Тепер, знаючи висоту підйому \(h\) і масу маятника \(m\), ми можемо обчислити енергію маятника \(E_p\) у положенні рівноваги:
\[E_p = mgh\]
\[E_p = 0.1 \cdot 9.8 \cdot 0.011\]
\[E_p ≈ 0.01078 \text{ Дж}\]
Отже, енергія маятника у положенні рівноваги становить приблизно 0.01078 Дж.
Будь ласка, якщо у вас є ще які-небудь питання або потрібне пояснення, не соромтеся питати. Я завжди радий допомогти!
Почнемо з визначення періоду коливань маятника. Формула для періоду коливання \(T\) математичного маятника має вигляд:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\]
де \(l\) - довжина нитки маятника, \(g\) - прискорення вільного падіння (приблизно 9.8 м/с²).
У нашому випадку, довжина нитки \(l\) становить 50 см, що дорівнює 0.5 метра. Підставимо ці значення у формулу і розрахуємо період коливання:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{0.5}{9.8}}\]
Значення прискорення вільного падіння \(g\) можна округлити до 9.8, або використовувати більш точне значення, наприклад, 9.81. Округлимо його до 9.8 для простоти розрахунку.
\[T ≈ 2\pi\sqrt{\frac{0.5}{9.8}}\]
Приблизно розрахунувавши, отримаємо:
\[T ≈ 2\pi\sqrt{0.051}\]
\[T ≈ 2\pi \cdot 0.226\]
\[T ≈ 1.424 \text{ секунди}\]
Отже, період коливання маятника складає близько 1.424 секунди.
Тепер перейдемо до обчислення енергії маятника. За законом збереження енергії, енергія маятника залежить від його потенційної та кінетичної енергії.
Максимальна потенційна енергія \(E_p\) маятника співпадає з його максимальною кінетичною енергією \(E_k\) у положенні рівноваги. Формули для обчислення цих енергій мають вигляд:
\[E_p = mgh\]
\[E_k = \frac{1}{2}mv^2\]
де \(m\) - маса маятника, \(g\) - прискорення вільного падіння, \(h\) - висота підйому маятника, \(v\) - швидкість маятника.
У нашому випадку, маса маятника \(m\) дорівнює 100 г, що при розрахунках необхідно перевести у кілограми, тобто 0.1 кг. Також, нам відомий найбільший кут відхилення маятника від положення рівноваги, який становить 15 градусів.
Для обчислення енергії маятника, спочатку визначимо висоту підйому маятника \(h\), що можна зробити за допомогою геометричного підходу. Висота підйому дорівнює розкладеній по висоті нитки частині відстані між початковим положенням маятника і його найбільш відхиленою позицією.
\[h = l(1 - \cos\theta)\]
де \(l\) - довжина нитки, \(\theta\) - кут відхилення маятника від положення рівноваги (у радіанах).
Підставимо значення довжини нитки \(l = 0.5\) метра і кута відхилення \(\theta = 15\) градусів (перейшовши до радіанів \(\theta = \frac{\pi}{12}\)) у формулу і визначимо висоту підйому:
\[h = 0.5(1 - \cos\frac{\pi}{12})\]
\[h ≈ 0.5(1 - 0.978)\]
\[h ≈ 0.5(0.022)\]
\[h ≈ 0.011 \text{ метра}\]
Тепер, знаючи висоту підйому \(h\) і масу маятника \(m\), ми можемо обчислити енергію маятника \(E_p\) у положенні рівноваги:
\[E_p = mgh\]
\[E_p = 0.1 \cdot 9.8 \cdot 0.011\]
\[E_p ≈ 0.01078 \text{ Дж}\]
Отже, енергія маятника у положенні рівноваги становить приблизно 0.01078 Дж.
Будь ласка, якщо у вас є ще які-небудь питання або потрібне пояснення, не соромтеся питати. Я завжди радий допомогти!
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
