Який значення радіуса планети, маса якої перевищує масу Землі в 9 разів, якщо прискорення вільного падіння

Добро пожаловать в нашу игру, где вы будете играть в роль учителя! Для решения этой задачи, нам необходимо использовать некоторые физические законы и формулы.

Первым шагом, давайте определим формулу для силы тяжести \(F\) на поверхности планеты. В соответствии с законом тяготения Ньютона, сила тяжести равна произведению массы объекта \(m\) на ускорение свободного падения \(g\). Формула для этой силы записывается как:

\[F = mg\]

Где:
\(F\) - сила тяжести,
\(m\) - масса объекта,
\(g\) - ускорение свободного падения.

По условию задачи, масса планеты в 9 раз больше, чем масса Земли. Таким образом, масса планеты \(m_p\) может быть записана как \(m_p = 9m\). Также известно, что ускорение свободного падения на планете составляет 1,4 раза меньше, чем на Земле. Мы можем записать это как \(g_p = 1.4g\), где \(g_p\) - ускорение свободного падения на планете.

Теперь, используя формулу для силы тяжести, мы можем записать:

\[F_p = m_p \cdot g_p\]

Подставляя значения \(m_p\) и \(g_p\), получим:

\[F_p = (9m) \cdot (1.4g)\]

Мы также можем записать силу тяжести на поверхности Земли через массу Земли и ускорение свободного падения на Земле:

\[F_{\text{Земли}} = m_{\text{Земли}} \cdot g_{\text{Земли}}\]

Так как радиус Земли известен, мы можем использовать формулу для силы тяжести на поверхности Земли, чтобы получить массу Земли:

\[m_{\text{Земли}} = \frac{{F_{\text{Земли}}}}{{g_{\text{Земли}}}}\]

Теперь мы можем записать уравнение, связывающее радиус планеты и её массу:

\[\frac{{F_p}}{{F_{\text{Земли}}}} = \left(\frac{{9m}}{{m_{\text{Земли}}}}\right) \cdot \left(\frac{{1.4g}}{{g_{\text{Земли}}}}\right)\]

По определению, сила тяжести пропорциональна массе объекта и обратно пропорциональна квадрату расстояния. Таким образом, можно записать:

\[\frac{{F_p}}{{F_{\text{Земли}}}} = \left(\frac{{R_{\text{Земли}}}}{{R_p}}\right)^2\]

Где \(R_{\text{Земли}}\) и \(R_p\) - радиусы Земли и планеты соответственно.

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно \(R_p\):

\[\left(\frac{{9m}}{{m_{\text{Земли}}}}\right) \cdot \left(\frac{{1.4g}}{{g_{\text{Земли}}}}\right) = \left(\frac{{R_{\text{Земли}}}}{{R_p}}\right)^2\]

Мы знаем, что \(m_{\text{Земли}} = 9.8 \cdot R_{\text{Земли}}^2\) и \(g_{\text{Земли}} = 9.8\) (значение ускорения свободного падения на Земле), поэтому можем подставить это в уравнение:

\[\left(\frac{{9m}}{{9.8 \cdot R_{\text{Земли}}^2}}\right) \cdot \left(\frac{{1.4 \cdot 9.8}}{{9.8}}\right) = \left(\frac{{R_{\text{Земли}}}}{{R_p}}\right)^2\]

Упрощая уравнение, получим:

\[\frac{{9 \cdot 1.4}}{{R_p^2}} = 1\]

Теперь можно решить это уравнение относительно \(R_p\):

\[R_p^2 = \frac{{9 \cdot 1.4}}{{1}}\]

\[R_p = \sqrt{9 \cdot 1.4}\]

Вычислив это значение, получаем:

\[R_p \approx 14.9\]

Таким образом, радиус планеты составляет около 14.9, при условии, что радиус Земли равен 6400.