Який є радіус меншого кола, якщо два кола дотикаються зовні у точці P і довжини хорди, яка поєднує точку P з точками

Для розв"язання цієї задачі використаємо властивість дотичних до кола, що стверджує, що дотична до кола у точці дотику є перпендикулярною до радіуса, проведеного через цю точку. Нехай \( r \) - радіус меншого кола, \( R \) - радіус більшого кола, \( d \) - відстань від точки P до точки дотику на більшому колі. Задані довжини хорди складають 6 і 8 см. Ми також можемо позначити відстань між центрами кола як \( D \).

Спочатку звернемося до властивості хорд кола, що каже, що хорда, яка розтягується між двома точками дотику зовнішніх дотичних, перпендикулярна до лінії, що сполучає центр кола з точкою дотику. Отже, ми можемо побачити, що підвелика дотична хорда дорівнює її діаметру, тобто \( 2R \), а підменша дотична хорда дорівнює \( 2r \).

Тепер зосередимося на трикутнику, утвореному від прямокутника між радіусами більшого кола, діаметром меншого кола та хордою, яка становить 6 см. Оскільки радіус меншого кола перпендикулярний до цієї хорди, ми можемо побачити, що цей трикутник є прямокутним.

Застосуємо теорему Піфагора до цього прямокутного трикутника:

\[ (R + r)^2 = (R - r)^2 + 6^2 \]

Розкриємо квадрати:

\[ R^2 + 2Rr + r^2 = R^2 - 2Rr + r^2 + 36 \]

Спростимо вираз:

\[ 4Rr = 36 \]

Розділимо обидві частини на 4:

\[ Rr = 9 \]

Тепер звернемося до другої пари кола, хорда якої має довжину 8 см. Застосуємо той самий підхід:

\[ (R + r)^2 = (R - r)^2 + 8^2 \]
\[ R^2 + 2Rr + r^2 = R^2 - 2Rr + r^2 + 64 \]

Спростимо вираз:

\[ 4Rr = 64 \]

Розділимо обидві частини на 4:

\[ Rr = 16 \]

Тепер у нас є система двох рівнянь:

\[
\begin{cases}
Rr = 9 \\
Rr = 16
\end{cases}
\]

Ця система рівнянь не має розв"язку, оскільки одночасно виконатися не можуть обидва рівняння. Тому немає значення радіуса меншого кола, яке задовольняло б обидва умови.

Отже, відповідь на поставлену задачу є пустою множиною. В даному випадку неможливо задовольнити умови задачі.