Який є радіус кола, яке вписане в рівносторонній трикутник, якщо його висота дорівнює: а) 9 см; б) ...?

Добрый день! Чтобы найти радиус $r$ кола, вписанного в равносторонний треугольник с высотой $h$, нам понадобится использовать определенные свойства и формулы.

Заметим, что в равностороннем треугольнике все стороны равны между собой. Пусть каждая сторона треугольника равна $a$. Тогда высота $h$ является биссектрисой треугольника и делит его на два равносторонних треугольника. Пусть $O$ - центр вписанной окружности, а точки $A,B$ и $C$ - вершины треугольника, как показано на рисунке ниже:
$$ABC$$

$$\begin{array}{ccc}& & \\ & O& \\ & & \\ A& & B\\ & & \\ & C& \end{array}$$

Радиус вписанной окружности является перпендикуляром, опущенным из центра окружности $O$ на сторону треугольника $AB$ (или сторону $AC,BC$). Пусть $M$ - середина стороны $AB$, тогда точки $O$ и $M$ соединяет радиус окружности. Также обозначим точку пересечения высоты $h$ с основанием $AB$ через $H$.

Поскольку треугольник $ABM$ - равносторонний, то длина его стороны равна
$$AM=\frac{a}{2}$$.

Кроме того, по определению высоты, треугольник $BCH$ подобен треугольнику $ABC$, и мы можем записать соотношение:
$$\frac{BC}{BH}=\frac{a}{h}$$.

Также мы можем записать, что треугольник $BOM$ подобен треугольнику $ABC$, и можем записать соотношение:
$$\frac{BM}{BO}=\frac{a}{r}$$.

Теперь, заметим, что треугольники $BCH$ и $BOM$ имеют общий угол $\mathrm{\angle }C$, и, следовательно,
$\mathrm{\angle }CBH=\mathrm{\angle }OBM$.

Из подобия треугольников $BCH$ и $BOM$ следует:
$$\frac{\frac{a}{2}}{r}=\frac{h}{BH}$$.

Заменим $BH$ в предыдущем уравнении, используя подобие треугольников $BCH$ и $ABC$:
$$\frac{\frac{a}{2}}{r}=\frac{h}{\frac{BC}{a}\cdot h}$$.

Упростим выражение и избавимся от дроби:
$$a=2r$$.

Теперь мы можем использовать полученное соотношение, чтобы найти радиус $r$ кола, вписанного в равносторонний треугольник с заданной высотой $h$.

а) Когда высота равна 9 см:
$$a=2r=2\cdot 9\text{см}=18\text{см}$$.

Поскольку мы знаем, что в равностороннем треугольнике все стороны равны между собой, радиус окружности также будет равен 18 см.

б) Теперь давайте рассмотрим случай, когда высота $h$ неизвестна. В этом случае у нас нет достаточной информации, чтобы найти радиус вписанного круга без дополнительных данных.

Как видите, ответ на задачу зависит от заданных значений. Для решения задачи полностью и точно нужны дополнительные данные, например, длина стороны равностороннего треугольника или длина основания, чтобы найти радиус вписанной окружности.