Який період коливань пружинного маятника, якщо тягарець підвішений до спокійної пружини і розтягує її на

Перш за все, для розв"язання цієї задачі нам потрібно знати деякі початкові дані. Ці дані включають масу тягарця (позначимо її \(m\)), сталу пружності пружини (позначеною як \(k\)) та максимальне значення розтягнення пружини (позначено як \(x_{\text{макс}}\)).

Також, ми можемо використовувати закон Гука, який описує зв"язок між силовим розтягом \(F\) пружини і розтягуванням \(x\) пружини: \(F = -kx\).

Розв"яжемо цю задачу, спочатку вводячи другий закон Ньютона для руху:

\[F = ma,\]

де \(F\) - сила, яка діє на тягарець, \(m\) - маса тягарця і \(a\) - прискорення тягарця.

Закон Гука говорить нам, що силовий розтяг \(F\) пружини є пропорційним до розтягування \(x\):

\[F = -kx.\]

Зрозуміло, що тягарець насправді коливається навколо стану рівноваги. Тому, знаючи, що прискорення \(a\) є другою похідною від \(x\), можемо записати вираз для \(a\):

\[a = -\frac{k}{m}x.\]

Тепер введемо період коливань \(Т\), який є часом, необхідним для того, щоб тягарець повернувся до свого початкового положення. Оскільки коливання є періодичними, ми можемо взяти любу точку на циклі коливань для розрахунку періоду.

Згідно з рівнянням руху, ми можемо записати другий закон Ньютона для руху як:

\[m\frac{{d^2x}}{{dt^2}} = -kx.\]

Якщо ми розглянемо розв"язок вигляду \(x(t) = A\sin(\omega t + \phi)\), де \(A\) - амплітуда коливань, \(\omega\) - кутова частота коливань і \(\phi\) - фазовий кут, то ми отримаємо:

\[-m\omega^2A\sin(\omega t + \phi) = -kA\sin(\omega t + \phi).\]

Скасуємо \(A\) та \(\sin(\omega t + \phi)\) з обох боків рівняння:

\[-m\omega^2 = -k.\]

Тепер можемо розв"язати отримане рівняння для \(\omega\):

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.\]

Період коливання \(T\) визначається формулою \(T = \frac{2\pi}{\omega}\), отже:

\[T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}}.\]

Таким чином, період коливання пружинного маятника залежить від сталої пружності \(k\) та маси \(m\) тягарця. Щоб визначити його конкретне значення, необхідно мати відомі ці початкові дані і підставити їх у формулу.