Який об єм відрізаного тіла, якщо з куба з ребром 12 см вирізано тіло площиною, яка проходить через середні трьох його

Для решения этой задачи, нам нужно рассмотреть цельные знания об геометрии и объеме тела, чтобы объяснить каждый шаг решения. Давайте начнем!

1. У нас есть куб со стороной 12 см. Куб - это трехмерная геометрическая фигура, у которой все стороны равны друг другу, и все углы прямые.

2. Плоскость проходит через середину каждого из трех ребер, имеющих общую вершину. Давайте представим куб и плоскость на рисунке для лучшего понимания.

3. Когда плоскость проходит через каждое из этих ребер, она разделяет куб на две фигуры – одну, которая остается внутри плоскости, и другую, которая отбрасывается.

4. Важно отметить, что каждая из четырех грани, пересекаемых плоскостью, является квадратом со стороной равной длине ребра куба.

5. Также важно знать, что общая вершина этих трех ребер находится в центре куба, и расстояние от центра куба до центра каждой из этих граней равно половине длины ребра.

Теперь, когда мы уяснили геометрические свойства задачи, можем перейти к решению.

6. Сначала найдем длину диагонали грани куба. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора: \(d^2 = a^2 + a^2\), где \(d\) - диагональ грани, \(a\) - длина ребра куба.

Подставляя значения, получаем: \(d^2 = 12^2 + 12^2\)

Решаем уравнение: \(d^2 = 144 + 144\)

\(d^2 = 288\), или взяв квадратный корень из обеих частей, получаем \(d = \sqrt{288}\)

7. Теперь, используя свойства треугольника, можем найти длину высоты, которая проведена от вершины куба до плоскости. Эта высота является медианой треугольника, а значит делит его на два равных сегмента.

Высота треугольника будет равна половине длины диагонали грани, то есть \(h = \frac{d}{2}\)

Подставляем значение диагонали грани: \(h = \frac{\sqrt{288}}{2}\)

8. Теперь, зная длину высоты, мы можем найти площадь круглой базы тела, которое будет резать наша плоскость. База будет кругом с радиусом равным длине высоты.

Площадь круга вычисляется по формуле: \(S = \pi r^2\), где \(S\) - площадь, \(\pi\) - математическая постоянная (приближенно равная 3.14), \(r\) - радиус.

Подставляем значение радиуса: \(S = \pi \left(\frac{\sqrt{288}}{2}\right)^2\)

9. Получаем площадь круга: \(S \approx \pi \left(\frac{288}{4}\right)\)

\(S \approx \pi \cdot 72\), или примерно \(S \approx 226.195\)

10. Так как плоскость пересекает куб на половине длины, объем отброшенного тела будет равен половине объема куба.

Найдем объем куба по формуле: \(V = a^3\), где \(V\) - объем, \(a\) - длина ребра куба.

Подставляем значение длины ребра: \(V = 12^3\)

Решаем: \(V = 1728\)

11. Наконец, находим объем отброшенного тела: \(V_{отбр} = \frac{V}{2} = \frac{1728}{2} = 864\)

Ответ: Объем отброшенного тела равен 864 кубическим сантиметрам.