Який об єм та площа бічної поверхні циліндра, якщо діагональ осьового перерізу дорівнює 12 см і утворює кут

Задача заключається в находженні об"єму та площі бічної поверхні циліндра з відомою діагоналлю осьового перерізу та кутом, який утворює ця діагональ з площиною нижньої основи.

Для вирішення цієї задачі можемо скористатися властивостями циліндра.

1. Об"єм циліндра можна обчислити за формулою \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\), де \(V\) - об"єм, \(\pi\) - число пі, \(r\) - радіус основи циліндра, \(h\) - висота циліндра.

2. Площу бічної поверхні циліндра можна обчислити за формулою \(S_b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\), де \(S_b\) - площа бічної поверхні.

Спочатку знайдемо радіус основи циліндра. Для цього скористаємося властивістю прямокутного трикутника, де гіпотенуза (діагональ осьового перерізу) дорівнює 12 см, а один з кутів дорівнює 45°. За теоремою Піфагора величина катетів в такому трикутнику рівна \(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 12 \approx 8.49\) см.

Тепер, знаючи радіус основи циліндра, можемо обчислити об"єм і площу бічної поверхні циліндра. Для прикладу, приймемо висоту циліндра рівною 10 см.

1. Об"єм циліндра:
\[V = \pi \cdot r^2 \cdot h\]
\[V = 3.14 \cdot (8.49)^2 \cdot 10 = 2270.6 \, \text{см}^3\]

2. Площа бічної поверхні:
\[S_b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\]
\[S_b = 2 \cdot 3.14 \cdot 8.49 \cdot 10 = 535.9 \, \text{см}^2\]

Таким чином, об"єм циліндра дорівнює 2270.6 см³, а площа бічної поверхні - 535.9 см².