Який може бути розмір діаметру мідного провідника, щоб його опір не перевищував 10 м в разі уникнення перегріву

, рівній 100 м, і опору проводу, рівному 0.2 Ом/м?

Для того, щоб знайти розмір діаметру мідного провідника, який задовольняє умови задачі, нам потрібно використати формулу для обчислення опору проводу:

\[R = \rho \cdot \frac{L}{A}\]

де \(R\) - опір проводу, \(\rho\) - специфічний опір матеріалу проводу (для міді специфічний опір приблизно дорівнює \(1.72 \times 10^{-8}\) Ом м/мм\(^2\)), \(L\) - довжина проводу, \(A\) - площа поперечного перерізу проводу.

Ми знаємо, що опір проводу повинен бути менше 10 м, тому ми можемо записати це умову:

\[R \leq 10\]

Розширюючи формулу для опору і підставляючи відомі значення, ми маємо:

\[10 \geq 1.72 \times 10^{-8} \cdot \frac{100}{A}\]

Щоб знайти максимально допустимий розмір діаметру провідника, потрібно розв"язати цю нерівність відносно \(A\). Давайте це зробимо:

\[10 \geq 1.72 \times 10^{-8} \cdot \frac{100}{\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2}\]

Де \(d\) - діаметр мідного провідника.

Для спрощення обчислень, введемо нову змінну \(x = \left(\frac{d}{2}\right)^2\), тоді ми отримаємо:

\[10 \geq 1.72 \times 10^{-8} \cdot \frac{100}{\pi x}\]

Множачи обидві частини нерівності на \(\pi x\), ми отримаємо:

\[10 \pi x \geq 1.72 \times 10^{-8} \cdot 100\]

\[x \geq \frac{1.72 \times 10^{-8} \cdot 100}{10 \pi}\]

\[x \geq \frac{1.72 \times 10^{-6}}{\pi}\]

Тепер, замінюючи \(x\) назад на вираз з діаметром провідника, маємо:

\[\left(\frac{d}{2}\right)^2 \geq \frac{1.72 \times 10^{-6}}{\pi}\]

Знаючи значення \(\pi \approx 3.14\), ми можемо обчислити:

\[\frac{d^2}{4} \geq \frac{1.72 \times 10^{-6}}{3.14}\]

\[d^2 \geq 1.72 \times 10^{-6} \times 4 \times 3.14\]

\[d^2 \geq 2.7168 \times 10^{-6}\]

Остаточно, отримуємо:

\[d \geq \sqrt{2.7168 \times 10^{-6}}\]