Який є кут між твірною конуса і висотою конуса, якщо твірна конуса має довжину вдвічі більшу за його висоту?

Розглянемо даний конус.

Позначимо довжину твірної конуса як \( l \), а висоту конуса як \( h \).

За умовою задачі, довжина твірної конуса є вдвічі більшою за його висоту. Тобто:

\[ l = 2h \]

Пригадаємо властивість трикутника, що описана навколо цього конуса. У такому трикутнику сторона, яка є твірною конуса, сполучає вершину трикутника з точкою на колі довкола нього. Висота конуса є опущеною з вершини на основу трикутника. Якщо уявити конус зрізаним на половину, то це стане більш очевидно:

\[ l \]
\ | \
\ | \
\ | \
\ | \
\h | \

Звертаючись до трикутника, застосуємо теорему косинусів:

\[ \cos(\text{{кут між твірною конуса і висотою конуса}}) = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}} \]

Тут сторона \( a \) - висота конуса, сторона \( b \) - радіус кола, а сторона \( c \) - довжина твірної конуса.

З файлів відомо, що радіус кола дорівнює половині довжини твірної конусу, тобто \( b = \frac{{l}}{2} \).

Тоді підставимо відомі дані до формули косинусів:

\[ \cos(\text{{кут між твірною конуса і висотою конуса}}) = \frac{{h^2 + \left(\frac{{l}}{2}\right)^2 - l^2}}{{2h \cdot \frac{{l}}{2}}} \]

Скористаємося спрощенням формули:

\[ \cos(\text{{кут між твірною конуса і висотою конуса}}) = \frac{{h^2 + \frac{{l^2}}{4} - l^2}}{{h \cdot l}} \]

Просумуємо чисельник:

\[ \cos(\text{{кут між твірною конуса і висотою конуса}}) = \frac{{h^2 - \frac{{3l^2}}{4}}}{{h \cdot l}} \]

Розкриємо дужки:

\[ \cos(\text{{кут між твірною конуса і висотою конуса}}) = \frac{{4h^2 - 3l^2}}{{4h \cdot l}} \]

Застосуємо формулу косинуса кута \( x \):

\[ \cos(x) = \frac{{4h^2 - 3l^2}}{{4h \cdot l}} \]

Отримали вираз для косинуса шуканого кута.

Щоб знайти сам кут, використовуємо обернену функцію косинуса:

\[ x = \arccos\left(\frac{{4h^2 - 3l^2}}{{4h \cdot l}}\right) \]

Отже, кут між твірною конуса і висотою конуса дорівнює \[ x = \arccos\left(\frac{{4h^2 - 3l^2}}{{4h \cdot l}}\right) \].