Який коефіцієнт корисної дії теплової машини, яка виконує роботу у циклі на 120 кДж, при температурі нагрівання 500

Щоб визначити коефіцієнт корисної дії теплової машини, спочатку розрахуємо різницю внутрішньої енергії машини перед і після циклу. Згідно з першим законом термодинаміки, внутрішня енергія машини змінюється на суму витраченої теплової енергії та виконаної роботи:

\[\Delta U = Q_{in} - Q_{out} + W\]

Де \(\Delta U\) - зміна внутрішньої енергії, \(Q_{in}\) - теплова енергія, надана машині, \(Q_{out}\) - теплова енергія, відведена машині, а \(W\) - виконана робота. З огляду на те, що цикл є замкненим, \(\Delta U = 0\), тому:

\[0 = Q_{in} - Q_{out} + W\]

Роботу можна виразити через кількість теплової енергії, яку ми витрачаємо:

\[W = Q_{in} - Q_{out}\]

Тепер, для того щоб знайти коефіцієнт корисної дії, візьмемо відношення виконаної роботи до теплової енергії, наданої машині, і помножимо на 100%, щоб виразити відповідь у відсотках:

\[ККД = \frac{W}{Q_{in}} \times 100%\]

Замінюємо значення \(\Delta U = 0\) та \(W = Q_{in} - Q_{out}\):

\[ККД = \frac{Q_{in} - Q_{out}}{Q_{in}} \times 100%\]

Тепер вставимо вирази для \(Q_{in}\) та \(Q_{out}\) у формулу:

\[ККД = \frac{Q_{in} - Q_{out}}{Q_{in}} \times 100% = \frac{Q_{in} - (Q_{in} - W)}{Q_{in}} \times 100% = \frac{W}{Q_{in}} \times 100%\]

Тепер підставимо числові значення виразу:

\[ККД = \frac{120 \, кДж}{Q_{in}} \times 100%\]

Теплову енергію, надану машині, можна визначити, використовуючи рівняння Клаузіуса:

\[\frac{Q_{in}}{T_{in}} = \frac{Q_{out}}{T_{out}}\]

Тут \(T_{in}\) - температура нагрівання, \(T_{out}\) - температура охолодження. Знайдемо \(Q_{in}\):

\[\frac{Q_{in}}{500 \, К} = \frac{Q_{out}}{300 \, К}\]

\[Q_{in} = \frac{500 \, К}{300 \, К} \times Q_{out} = \frac{5}{3} \times Q_{out}\]

Тепер підставимо це значення у вираз для коефіцієнта корисної дії:

\[ККД = \frac{120 \, кДж}{Q_{in}} \times 100% = \frac{120 \, кДж}{\frac{5}{3} \times Q_{out}} \times 100% = \frac{120 \, кДж}{\frac{5}{3} \times \frac{3}{5} \times 120 \, кДж} \times 100% = 100%\]

Отже, коефіцієнт корисної дії теплової машини, яка виконує роботу у циклі на 120 кДж при температурі нагрівання 500 К і температурі охолодження 300 К, дорівнює 100%.