Який час половинного розпаду у радіоактивного ізотопу, що становить 2 хвилини, вказує на те, що через

Я буду рад помочь вам с этой задачей о половинном распаде радиоактивного изотопа.

Половинный распад означает, что за определенное время половина количества вещества изменяет свое состояние. В данном случае у нас есть радиоактивный изотоп, у которого время половинного распада составляет 2 минуты.

Чтобы найти время, через которое останется только четверть исходного количества вещества, мы можем использовать следующий подход.

Пусть \(N(t)\) обозначает количество вещества в момент времени \(t\), а \(N_0\) обозначает исходное количество вещества.

Известно, что время половинного распада равно 2 минутам. Это означает, что через каждые 2 минуты количество вещества уменьшается вдвое.

Тогда мы можем записать следующее уравнение:

\[N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{2}}\]

где \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{2}}\) представляет собой количество вещества, оставшееся после прохождения времени \(t\) минут.

Мы хотим найти время, через которое останется только четверть исходного количества вещества, то есть \(N(t) = \frac{1}{4} N_0\).

Подставляя это в уравнение, получаем:

\[\frac{1}{4} N_0 = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{2}}\]

Делим обе части уравнения на \(N_0\):

\[\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{2}}\]

Теперь возьмем логарифм от обеих частей уравнения:

\[\log\left(\frac{1}{4}\right) = \log\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{2}}\right)\]

Используем свойство логарифма:

\[\log(a^b) = b \log(a)\]

Получаем:

\[\log\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{t}{2}\log\left(\frac{1}{2}\right)\]

Заметим, что \(\log\left(\frac{1}{2}\right)\) можно переписать в виде отрицательного логарифма:

\[\log\left(\frac{1}{2}\right) = -\log(2)\]

Подставляем это обратно в уравнение:

\[\log\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{t}{2}\log(2)\]

Мы знаем, что \(\log\left(\frac{1}{4}\right) = -2\log(2)\). Для того чтобы найти \(t\), необходимо решить уравнение:

\[-2\log(2) = -\frac{t}{2}\log(2)\]

Делим обе части уравнения на \(-\log(2)\):

\[2 = \frac{t}{2}\]

Умножаем обе части на 2:

\[4 = t\]

Таким образом, время, через которое останется только четверть исходного количества вещества, составляет 4 минуты.

Надеюсь, этот шаг за шагом разбор помог вам понять, как найти время половинного распада радиоактивного изотопа!