Яким способом та скільки разів слід змінити радіус колової орбіти штучного супутника Землі, щоб знизити частоту його

Для розв"язання цієї задачі використаємо закон всесвітнього тяжіння та принцип збереження механічної енергії.

Перш за все, позначимо початковий радіус колової орбіти штучного супутника як \( r_1 \) та початкову лінійну швидкість руху як \( v_1 \).

Згідно принципу збереження механічної енергії, механічна енергія системи (супутник та Земля) залишається постійною.

Механічна енергія обчислюється як сума кінетичної та потенціальної енергії:

\[ E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} \]

Де:
\( m \) - маса супутника,
\( v \) - лінійна швидкість супутника,
\( G \) - гравітаційна постійна,
\( M \) - маса Землі,
\( r \) - радіус орбіти.

Оскільки радіус колової орбіти \( r \) пропорційний до лінійної швидкості \( v \), то задачу можна розглядати окремо для радіусу та лінійної швидкості.

1) Зміна радіусу орбіти:
Запишемо вираз для механічної енергії при початковому радіусі \( r_1 \) та лінійній швидкості \( v_1 \):

\[ E_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GMm}{r_1} \]

Змінюємо радіус орбіти на \( r_2 \) та позначаємо модифіковану лінійну швидкість як \( v_2 \).

Запишемо вираз для механічної енергії при новому радіусі \( r_2 \) та новій лінійній швидкості \( v_2 \):

\[ E_2 = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GMm}{r_2} \]

За умовою задачі, механічна енергія залишається постійною, тому \( E_1 = E_2 \). Підставляємо вирази для механічної енергії:

\[ \frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GMm}{r_1} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GMm}{r_2} \]

Спростивши рівняння та скорочуючи на \( m \), маємо:

\[ \frac{v_1^2}{2} - \frac{GM}{r_1} = \frac{v_2^2}{2} - \frac{GM}{r_2} \]

\[ \frac{v_1^2}{2} - \frac{GM}{r_1} = \frac{v_2^2}{2} - \frac{GM}{r_2} \]

Щоб знизити частоту обертання в 8 разів, нова лінійна швидкість \( v_2 \) повинна бути 8 разів меншою за \( v_1 \). Таким чином, \( v_2 = \frac{v_1}{8} \).

Також, щоб зменшити лінійну швидкість руху по орбіталі в 2 рази, новий радіус \( r_2 \) повинен бути половиною початкового радіусу \( r_1 \). Тобто, \( r_2 = \frac{r_1}{2} \).

Підставляємо вирази для \( v_2 \) та \( r_2 \) у вираз для механічної енергії і розв"язуємо рівняння відносно \( r_1 \):

\[ \frac{v_1^2}{2} - \frac{GM}{r_1} = \frac{\left(\frac{v_1}{8}\right)^2}{2} - \frac{GM}{\frac{r_1}{2}} \]

\[ \frac{v_1^2}{2} - \frac{GM}{r_1} = \frac{v_1^2}{128} - \frac{2GM}{r_1} \]

\[ 128 \cdot \left(\frac{v_1^2}{2} - \frac{GM}{r_1}\right) = v_1^2 - 256 \cdot \frac{GM}{r_1} \]

\[ 128 \cdot \frac{v_1^2}{2} - 128 \cdot \frac{GM}{r_1} = v_1^2 - 256 \cdot \frac{GM}{r_1} \]

\[ 64 \cdot \frac{v_1^2}{2} = v_1^2 \]

\[ 32 \cdot v_1^2 = v_1^2 \]

\[ 31 \cdot v_1^2 = 0 \]

Отримали неправдоподібне рівняння, тому задача має неправильну постановку або умова задачі містить помилку. Рекомендую перевірити умову задачі та надати додаткову інформацію.