Яким є скалярний добуток векторів са і св в рівносторонньому трикутнику авс, якщо сторона ав має довжину

Для того чтобы найти скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), нам понадобится знать длины этих векторов и угол между ними.

В данной задаче у нас есть равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB\) длиной \(x\). Для нахождения скалярного произведения векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), которые соответствуют векторам \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), нам потребуется найти длины этих векторов и угол между ними.

Длина вектора может быть найдена с использованием формулы длины вектора \(|\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\), где \(v_x, v_y, v_z\) - компоненты вектора. В данном случае, поскольку у нас треугольник в плоскости, мы будем использовать только компоненты \(v_x\) и \(v_y\).

Для вектора \(\mathbf{a}\), компоненты будут следующими:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}
\]
Так как \(AB\) горизонтален и не имеет вертикальной составляющей, \(v_x = x\) и \(v_y = 0\).

Для вектора \(\mathbf{b}\), компоненты будут следующими:
\[
\mathbf{b} = \begin{pmatrix} \frac{x}{2} \\ \frac{\sqrt{3}x}{2} \end{pmatrix}
\]
Мы знаем, что в равностороннем треугольнике угол между сторонами \(AB\) и \(AC\) равен 60 градусам. Таким образом, мы можем вычислить компоненты \(\mathbf{b}\) с использованием соответствующих значений синуса и косинуса 60 градусов.

Итак, длины векторов:
\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + 0^2} = x
\]
\[
|\mathbf{b}| = \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}x}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}x^2} = \sqrt{\frac{4}{4}x^2} = x
\]
Поскольку \(|\mathbf{a}| = |\mathbf{b}|\), скалярное произведение будет равно:
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta) = x \cdot x \cdot \cos(60^\circ) = x^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{x^2}{2}
\]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) в равностороннем треугольнике \(ABC\) равно \(\frac{x^2}{2}\).