Яким є периметр квадрата, який вписаний в це коло, якщо площа правильного трикутника, описаного навколо цього кола

Для решения этой задачи мы должны использовать связь между площадью окружности и площадью вписанного в нее квадрата.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника, описанного вокруг окружности, составляет 54√3 см². Однако, чтобы решить эту задачу, в первую очередь нам необходимо найти радиус этой окружности.

Поскольку треугольник правильный, то его высота, опущенная из вершины на основание, будет равна радиусу окружности. Пусть радиус окружности равен \( r \).

Так как площадь треугольника равна \( 54\sqrt{3} \) см², мы можем воспользоваться формулой площади треугольника:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{{a \cdot h}}{2} \]

где \( a \) - длина основания треугольника (сторона квадрата), а \( h \) - высота треугольника (радиус окружности).

Раз треугольник является правильным, то его основание равно длине одной стороны квадрата, а поскольку все стороны квадрата равны, длина основания равна \( a \).

Таким образом, площадь треугольника можно перезаписать как:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{{a \cdot a}}{2} = \frac{{a^2}}{2} \]

Теперь у нас есть:

\[ \frac{{a^2}}{2} = 54\sqrt{3} \]

Давайте решим это уравнение и найдем значение \( a \):

\[ a^2 = 108\sqrt{3} \]

Чтобы получить значение \( a \), возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[ a = \sqrt{108\sqrt{3}} \]

После упрощения этого выражения, получим:

\[ a = 6\sqrt{6\sqrt{3}} \]

Теперь, чтобы найти периметр квадрата, вписанного в окружность, нужно умножить длину его стороны на 4:

\[ \text{Периметр} = 4 \cdot a = 4 \cdot 6\sqrt{6\sqrt{3}} \]

Таким образом, периметр квадрата составляет \( 24\sqrt{6\sqrt{3}} \) см.

Это является окончательным ответом на задачу.