Яким є об єм правильної чотирикутної піраміди, у якої бічне ребро дорівнює l і утворює кут α з площиною основи?

Щоб знайти об"єм правильної чотирикутної піраміди, спочатку потрібно знайти площу основи та висоту піраміди. Після цього використовується формула об"єму піраміди.

1. Знайдемо площу основи піраміди.
Оскільки піраміда має правильну чотирикутну основу, то площа основи може бути знайдена за допомогою формули для площі прямокутника: Ширина * Довжина. Враховуючи, що кут α утворюється з площиною основи, то площа основи буде рівна \(\frac{1}{2} * l * l * \sin(\alpha)\), де l - довжина бічного ребра піраміди, α - кут, утворений з площиною основи.

2. Знайдемо висоту піраміди.
Висота піраміди може бути знайдена за допомогою теореми Піфагора. Оскільки піраміда є правильною, то ребро піраміди, лінійно розташоване на звичайній основі, утворює прямий кут з висотою піраміди. Тому, враховуючи піфагорове співвідношення, висоту \(h\) можна виразити як \(\sqrt{l^2 - (\frac{l}{2})^2}\).

3. Знайдемо об"єм піраміди.
Знаючи площу основи \(S\) та висоту \(h\), об"єм піраміди \(V\) можна знайти за допомогою формули: \(V = \frac{1}{3} * S * h\). Підставляючи раніше знайдені значення площі основи та висоти в цю формулу, отримуємо: \(V = \frac{1}{3} * \frac{1}{2} * l * l * \sin(\alpha) * \sqrt{l^2 - (\frac{l}{2})^2}\).

Отже, об"єм правильної чотирикутної піраміди з бічним ребром \(l\), що утворює кут \(\alpha\) з площиною основи, дорівнює \(\frac{1}{6} * l^3 * \sin(\alpha) * \sqrt{l^2 - (\frac{l}{2})^2}\).