Яким чином змінюється модуль переміщення автомобіля, коли він здійснює поворот, проїжджаючи чверть кола? В скільки

Чтобы понять, как изменяется модуль перемещения автомобиля при совершении поворота, давайте рассмотрим данную ситуацию более детально.

Предположим, что автомобиль двигается по окружности радиусом \(r\), и для простоты будем считать, что он движется по часовой стрелке.

1. Поворот на четверть круга:
Когда автомобиль проезжает четверть окружности, он описывает ломаную линию, состоящую из двух прямых отрезков и дуги окружности. Расстояние, пройденное автомобилем (путь), равно сумме длин этих трех участков.

- Прямой отрезок 1: Пусть \(s_1\) обозначает длину первого прямого отрезка. Если угол поворота равен 90 градусов, то оба угла у треугольника, который получается из автомобиля, будут равными 45 градусам каждый. Тогда длина первого отрезка \(s_1\) будет равна \(r \cdot \cos(45^\circ)\), а так как \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то \(s_1 = \frac{r}{\sqrt{2}}\).
- Дуга окружности: Пусть \(s_2\) обозначает длину дуги окружности. В данном случае дуга равна четверти периметра окружности, то есть \(s_2 = \frac{2\pi r}{4} = \frac{\pi r}{2}\).
- Прямой отрезок 2: Пусть \(s_3\) обозначает длину второго прямого отрезка. Так как треугольник, который получается из автомобиля, является прямоугольным с двумя прямыми углами, то длина второго отрезка равна \(r \cdot \sin(45^\circ)\), а так как \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то \(s_3 = \frac{r}{\sqrt{2}}\).

Таким образом, общее пути \(s\) равно сумме этих трех участков:
\[s = s_1 + s_2 + s_3 = \frac{r}{\sqrt{2}} + \frac{\pi r}{2} + \frac{r}{\sqrt{2}}\]
\[s = \frac{2r}{\sqrt{2}} + \frac{\pi r}{2}\]
\[s = \frac{2r\sqrt{2} + \pi r}{2}\]

2. Исследование модуля перемещения и шляха:
Модуль перемещения автомобиля - это расстояние от начального положения автомобиля до его конечного положения. Шлях - это фактически пройденное расстояние.

Для данной задачи модуль перемещения будет равен радиусу окружности \(r\), так как автомобиль возвращается в исходное положение после совершения поворота.

Шлях - это сумма пройденных участков пути, а мы уже вычислили его в предыдущем пункте: \(s = \frac{2r\sqrt{2} + \pi r}{2}\).

Теперь найдем отношение модуля перемещения к шляху.
Отношение модуля перемещения к шляху равно \(\frac{r}{s}\).

Подставим значение \(s\) и упростим выражение:
\(\frac{r}{s} = \frac{r}{\frac{2r\sqrt{2} + \pi r}{2}} = \frac{2r}{2r\sqrt{2} + \pi r}\).

Полученное выражение будет числовым значением, показывающим, в какое количество раз модуль перемещения меньше, чем путь, пройденный автомобилем.

Таким образом, чтобы ответить на поставленный вопрос о том, в сколько раз модуль перемещения меньше, чем шлях, достаточно вычислить приведенное выше выражение.