Яким буде відстань від точки D до прямокутного трикутника ABC, якщо один з його катетів дорівнює 6, а гострий

дорівнює 4.

Для вирішення даної задачі використаємо властивість прямокутного трикутника: сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату гіпотенузи.

Нехай \(AC\) - гіпотенуза прямокутного трикутника \(ABC\), а \(BC\) - другий катет. Задача зазначає, що один катет \(BC\) дорівнює 6, а гострий кут \(BCA\) дорівнює 30°.

Ми знаємо, що сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, тому можемо записати нашу формулу:

\[BC^2 + AC^2 = AB^2\]

Згідно з теоремою Піфагора, ми можемо записати значення другого катета \(BC\):

\[BC^2 = AC^2 - AB^2 = 6^2 - AB^2\]

Також, за даними задачі, через вершину \(C\) проведено відрізок \(CD\), перпендикулярний до площини трикутника, причому \(CD\) дорівнює 4. Це дозволяє нам побудувати прямокутний трикутник \(DCB\), де \(DB\) є гіпотенузою, а \(DC\) - одним із катетів. Враховуючи це, ми можемо записати нову формулу:

\[BC^2 + DC^2 = BD^2\]

Оскільки \(BD = AB\), замінимо \(BD\) на \(AB\) у формулі:

\[BC^2 + DC^2 = AB^2\]

Отже, ми маємо дві формули:

\[BC^2 + AC^2 = AB^2\]

\[BC^2 + DC^2 = AB^2\]

Зіставимо їх і отримаємо:

\[6^2 - AB^2 + DC^2 = AB^2\]

Розв"яжемо дане рівняння:

\[36 + DC^2 = 2AB^2\]

\[DC^2 = 2AB^2 - 36\]

\[DC^2 = 2(AB^2 - 18)\]

\[DC^2 = 2AB^2 - 36\]

\[4^2 = 2AB^2 - 36\]

\[16 = 2AB^2 - 36\]

\[2AB^2 = 52\]

\[AB^2 = 26\]

\[AB = \sqrt{26}\]

Таким чином, відстань від точки \(D\) до прямокутного трикутника \(ABC\) дорівнює \(\sqrt{26}\).