Яким буде радіус основи циліндра, якщо площина, паралельна до його осі, перетинає основу по хорді, яка стягує дугу

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится применить геометрические свойства и формулы для цилиндра.

Предположим, что радиус основы цилиндра равен \(r\) (выраженный в заданной единице измерения). Также, у нас дано, что высота цилиндра равна \(4\sqrt{2}\) (единица измерения).

В этом случае, длина хорды, которая стягивает дугу 120 градусов на основе цилиндра, равна \(2r\sin(60^{\circ}) = 2r\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\).

Также, мы знаем, что из центра основы видно эту хорду под прямым углом. Это означает, что расстояние от центра основы до хорды равно половине длины хорды. То есть, расстояние от центра до хорды равно \(r\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения радиуса основы цилиндра. В прямоугольном треугольнике, у которого один катет равен \(r\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\), а второй катет равен \(4\sqrt{2}\), гипотенуза будет равна радиусу основы цилиндра.

Применяя теорему Пифагора, получаем:

\[(r\sin\left(\frac{\pi}{3}\right))^2 + (4\sqrt{2})^2 = r^2\]

Упрощая это уравнение, имеем:

\[r^2\left(\sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right) + 1\right) = 32\]

Поскольку \(\sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{4}\), мы можем продолжить вычисления:

\[r^2\left(\frac{3}{4} + 1\right) = 32\]

\[r^2\left(\frac{7}{4}\right) = 32\]

Теперь мы можем выразить радиус \(r\):

\[r^2 = \frac{32 \cdot 4}{7}\]

\[r^2 = \frac{128}{7}\]

\[r = \sqrt{\frac{128}{7}}\]

Таким образом, радиус основы цилиндра равен \(\sqrt{\frac{128}{7}}\) (единица измерения).

Надеюсь, это подробное объяснение позволяет разобраться в решении задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.