Яким буде периметр трикутника, що обмежений осями координат та прямою -3x+4y+48=0?

Чтобы найти периметр треугольника, ограниченного осями координат и прямой \( -3x+4y+48=0 \), нам необходимо сначала определить координаты вершин треугольника.

Прямая \( -3x+4y+48=0 \) пересекает оси координат в двух точках:
1. Когда \( x = 0 \), уравнение преобразуется в \( 4y + 48 = 0 \), и мы находим, что точка пересечения для оси y равна \((0, -12)\).
2. Когда \( y = 0 \), уравнение преобразуется в \( -3x + 48 = 0 \), и мы находим, что точка пересечения для оси x равна \((16, 0)\).

Таким образом, нам нужно найти координаты третьей вершины треугольника. Для этого нам нужно найти два отрезка, соединяющих ось x, ось y и прямую \( -3x+4y+48=0 \).

Для первого отрезка соединение будет выглядеть следующим образом:
1. Один конец отрезка будет на оси x в точке \((16, 0)\).
2. Второй конец отрезка будет на прямой \( -3x+4y+48=0 \). Для этого мы можем приравнять \( x = 0 \) и решить уравнение, чтобы найти \( y \). Получаем:
\[ -3(0) + 4y + 48 = 0 \Rightarrow 4y + 48 = 0 \Rightarrow 4y = -48 \Rightarrow y = -12 \]
Таким образом, второй конец отрезка будет в точке \((0, -12)\).

Для второго отрезка соединение будет выглядеть следующим образом:
1. Один конец отрезка будет на оси y в точке \((0, -12)\).
2. Второй конец отрезка будет на прямой \( -3x+4y+48=0 \). Для этого мы можем приравнять \( y = 0 \) и решить уравнение, чтобы найти \( x \). Получаем:
\[ -3x + 4(0) + 48 = 0 \Rightarrow -3x + 48 = 0 \Rightarrow -3x = -48 \Rightarrow x = 16 \]
Таким образом, второй конец отрезка будет в точке \((16, 0)\).

Таким образом, вершины треугольника имеют координаты: \((0, -12)\), \((16, 0)\) и \((0, 0)\).

Теперь, чтобы найти периметр треугольника, нам нужно найти длины всех трех сторон и их сложить.

1. Сторона, соединяющая точку \((0, -12)\) и \((16, 0)\):
Длина этой стороны можно найти применяя формулу расстояния между двумя точками в двумерном пространстве:
\[ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Подставим координаты двух точек в формулу:
\[ \sqrt{(16 - 0)^2 + (0 - (-12))^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \]

2. Сторона, соединяющая точку \((16, 0)\) и \((0, 0)\):
Эта сторона находится на оси x и имеет длину равную расстоянию между двумя точками \( (16, 0) \) и \( (0, 0) \) на оси x.
Поэтому длина этой стороны равна \( 16 - 0 = 16 \).

3. Сторона, соединяющая точку \((0, 0)\) и \((0, -12)\):
Эта сторона находится на оси y и имеет длину, равную расстоянию между двумя точками \( (0, 0) \) и \( (0, -12) \) на оси y.
Поэтому длина этой стороны равна \( |-12 - 0| = 12 \).

Теперь сложим длины всех трех сторон, чтобы найти периметр треугольника:
\(20 + 16 + 12 = 48\).

Таким образом, периметр треугольника, ограниченного осями координат и прямой \( -3x + 4y + 48 = 0 \), равен 48.