Яким буде об єм паралелепіпеда, основою якого є ромб зі стороною 2 дм і гострим кутом 60°? Якщо менша діагональ

Нам дано, что основа параллелепипеда является ромбом со стороной 2 дм и острым углом 60°. Мы можем использовать формулу для вычисления объема параллелепипеда, которая гласит:

\[ V = A \cdot h \]

где A - площадь основы, а h - высота параллелепипеда.

Чтобы найти площадь основы, нам понадобится формула для площади ромба, которая также зависит от его диагоналей. Пусть d1 и d2 - это диагонали ромба. Площадь ромба можно найти с помощью следующей формулы:

\[ A = \frac{{d1 \cdot d2}}{2} \]

В нашем случае, у нас есть сторона ромба, но нам необходимо найти диагонали. Однако, мы знаем угол в ромбе - 60°, и можем воспользоваться тригонометрией, чтобы найти диагонали. Что если мы поделим ромб на два равносторонних треугольника?

Так как острый угол ромба составляет 60°, у нас есть два равносторонних треугольника, где сторона ромба является гипотенузой, а стороны треугольника - катетами. Поскольку ромб имеет сторону 2 дм, то соответствующие катеты равны 1 дм.

Теперь мы можем найти диагонали равносторонних треугольников:

\[ d1 = 2 \cdot a = 2 \cdot 1 = 2 \, \text{дм} \]
\[ d2 = a \cdot \sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \, \text{дм} \]

Теперь, когда у нас есть значения диагоналей, мы можем вычислить площадь основы:

\[ A = \frac{{d1 \cdot d2}}{2} = \frac{{2 \cdot \sqrt{3}}}{2} = \sqrt{3} \, \text{дм}^2 \]

Теперь нам нужно найти высоту параллелепипеда. Она будет равна длине меньшей диагонали параллелепипеда, так как она наклонена к плоскости основы.

Таким образом, высота параллелепипеда равна:

\[ h = d2 = \sqrt{3} \, \text{дм} \]

Теперь, когда у нас есть площадь основы A и высота h, мы можем вычислить объем параллелепипеда:

\[ V = A \cdot h = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \, \text{дм}^3 \]

Ответ: Объем параллелепипеда равен 3 дм³.