Яким буде об єм циліндра, якщо його бічна поверхня розгортка являє собою квадрат і має периметр, рівний...?

Хорошо, чтобы найти объем цилиндра, нужно знать его высоту и радиус основания. В данной задаче у нас есть информация о боковой поверхности цилиндра в виде квадрата с заданным периметром.

Периметр квадрата - это сумма длин всех его сторон. Пусть сторона квадрата равна \(x\). Тогда периметр можно записать следующим образом:

\[4x = \text{{подымаем число из условия для периметра}}\]

Чтобы найти высоту цилиндра, достаточно знать, что боковая поверхность цилиндра - это прямоугольник, периметр которого равен периметру заданного квадрата.

Периметр прямоугольника - это сумма всех его сторон. Пусть длина прямоугольника равна \(x\), а ширина - это высота цилиндра, обозначим её \(h\). Тогда периметр можно записать следующим образом:

\[2(x + h) = \text{{подымаем число из условия для периметра}}\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[4x = \text{{подымаем число из условия для периметра}}\]

\[2(x + h) = \text{{подымаем число из условия для периметра}}\]

Мы можем решить эту систему методом подстановки или методом исключения. Давайте воспользуемся методом исключения для решения этой системы.

Сначала из второго уравнения избавимся от скобок:

\[2x + 2h = \text{{подымаем число из условия для периметра}}\]

Теперь из первого уравнения выразим \(x\) через \(h\):

\[x = \frac{{\text{{подымаем число из условия для периметра}}}}{4}\]

Подставим это значение \(x\) во второе уравнение:

\[2\left(\frac{{\text{{подымаем число из условия для периметра}}}}{4}\right) + 2h = \text{{подымаем число из условия для периметра}}\]

\[ \frac{{\text{{подымаем число из условия для периметра}}}}{2} + 2h = \text{{подымаем число из условия для периметра}}\]

Выразим теперь \(h\):

\[2h = \text{{подымаем число из условия для периметра}} - \frac{{\text{{подымаем число из условия для периметра}}}}{2}\]

\[2h = \frac{{\text{{подымаем число из условия для периметра}}}}{2}\]

\[h = \frac{{\text{{подымаем число из условия для периметра}}}}{4}\]

Теперь у нас есть значение \(h\), которое равно высоте цилиндра.

Объем цилиндра можно найти по формуле:

\[V = \pi r^2 h\]

Где \(r\) - это радиус основания цилиндра. Для нас радиус \(r\) - это половина длины стороны квадрата. Обозначим радиус как \(R\):

\[R = \frac{x}{2}\]

Теперь мы имеем все данные, чтобы вычислить объем цилиндра:

\[V = \pi \left(\frac{x}{2}\right)^2 \cdot \frac{x}{4}\]

\[V = \frac{\pi x^3}{16}\]

Таким образом, объем цилиндра в данной задаче равен \(\frac{\pi x^3}{16}\) по условию задачи о боковой поверхности цилиндра, представленной квадратом с заданным периметром.